⚙️ Теормех

Обобщённые координаты

англ. Generalized coordinates

Независимые параметры, однозначно задающие положение механической системы; их число равно числу степеней свободы системы.

Обобщённые координаты — независимые параметры $q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}$ , через которые однозначно выражается положение механической системы. Для маятника достаточно одного угла $φ$ , для точки в пространстве нужны три координаты, для свободного твёрдого тела — шесть. Число $s$ обобщённых координат равно числу степеней свободы: связи, наложенные на систему, уже учтены самим выбором координат, поэтому каждая из них меняется независимо.

Работа сил на виртуальных перемещениях вводит обобщённые силы $Q_{j}$ : $δ A = \sum_{j} Q_{j} δ q_{j}$ , а для потенциальных сил $Q_{j} = - \partial Π/ \partial q_{j}$ . Именно в этих координатах формулируются уравнения Лагранжа — как их составлять по шагам, разобрано в уроке уравнения Лагранжа, а примеры систем с несколькими телами есть в материале динамика системы точек.

Q_{j} = i = 1 \sum n F_{i} \cdot \frac{\partial r _{i}}{\partial q _{j}}

обобщённая сила

Q_{j}

собирает проекции всех активных сил на «направление» координаты

q_{j}

; индекс

j

пробегает все степени свободы

Частые вопросы

Чем обобщённые координаты отличаются от декартовых?

Декартовы координаты задают положение точек в пространстве, но при наложенных связях они зависимы: менять их поодиночке нельзя, не разрушив связь. Обобщённые координаты выбирают независимыми, и связи учитываются автоматически. Их меньше, чем декартовых, — ровно число степеней свободы, а физический смысл бывает любым: угол поворота, длина нити, перемещение вдоль направляющей.

Как выбирать обобщённые координаты в задаче?

Сначала посчитайте степени свободы — столько независимых параметров понадобится. Затем ищите величины, через которые положение всех точек выражается проще всего: углы звеньев для механизмов, углы и дуги для маятников и катящихся тел, координаты вдоль направляющих для ползунов. Удачный выбор делает уравнения короткими, а реакции идеальных связей выпадают из них сами — их не придётся определять.