🧮 Линал

Векторное произведение

Q: Как найти площадь треугольника через векторное произведение?

Построить на двух сторонах векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, вычислить $\vec{a} \times \vec{b}$ и взять половину его длины: $S = \frac{1}{2}\left|\vec{a} \times \vec{b}\right|$. Для точек $A$, $B$, $C$ векторами служат $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — приём закрывает заметную долю стереометрических задач на площади. У параллельных векторов произведение нулевое — площадь вырожденного треугольника действительно нулевая.

англ. Cross product

Операция над парой векторов трёхмерного пространства, возвращающая вектор: перпендикулярный обоим исходным, длиной $|\vec{a}||\vec{b}|\sin\varphi$, направленный по правилу правой тройки.

Векторное произведение $a \times b$ принимает два вектора и возвращает вектор: он перпендикулярен обоим исходным, его длина равна $∣ a ∣∣ b ∣ sin φ$ , а направление задаётся правилом правой тройки. Родная среда — трёхмерное пространство: на плоскости операция не определена. Приложения лежат в физике плотным слоем: момент силы, угловая скорость, сила на заряд в магнитном поле — везде, где важна не только величина, но и ось, вокруг которой всё происходит. Механика держится на нём: момент силы $M = r \times F$ одновременно сообщает и величину вращательного эффекта, и его ось.

Геометрический смысл: длина $∣ a \times b ∣$ — площадь параллелограмма, натянутого на векторы. Произведение чувствительно к углу: параллельные векторы дают нуль ( $sin 0° = 0$ ), перпендикулярные — максимум $∣ a ∣∣ b ∣$ . Направление не произвольно: если вращать кратчайшим путём от $a$ к $b$ , правый винт закручивается в сторону результата. Отсюда главное отличие от умножения чисел: $b \times a = - (a \times b)$ — перестановка множителей меняет знак. Полезное следствие: нормированное произведение $n = \frac{a \times b}{∣ a \times b ∣}$ даёт единичную нормаль к плоскости пары — строительный материал уравнений плоскостей и прямых в пространстве.

a \times b = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}

координатная формула; запоминается как псевдоопределитель с ортами

i, j, k

в первой строке — тот же определитель, раскрытый вдоль первой строки

Мини-пример: $a = (2; 0; 0)$ , $b = (0; 3; 0)$ — векторы вдоль осей $x$ и $y$ . По формуле: первая координата $0 \cdot 0 - 0 \cdot 3 = 0$ , вторая $0 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0$ , третья $2 \cdot 3 - 0 \cdot 0 = 6$ . Итог: $a \times b = (0; 0; 6)$ — вектор вдоль оси $z$ , как и обещает правая тройка. Проверка через угол: $φ = 90°$ , длина $2 \cdot 3 \cdot 1 = 6$ — сошлось. Контроль по определителю: $2 \cdot 3 - 0 \cdot 0 = 6$ — третья координата совпадает с двумерным определителем пары. Бонус: площадь параллелограмма равна 6, а треугольника на тех же векторах — вдвое меньше, 3.

Техника и приложения — урок векторное и смешанное произведения, базовые операции — векторы и операции. Словарь: определение вектора и проекция вектора — мера «степени параллельности», антипод нашей «степени перпендикулярности». Вся векторная алгебра на одной странице — шпаргалка.

Частые вопросы

Чем векторное произведение отличается от скалярного?

Результатом и смыслом. Скалярное даёт число — меру сонаправленности через $cos φ$ ; векторное — вектор: меру перпендикулярности через $sin φ$ плюс ось вращения. Скалярное определено в пространстве любой размерности, векторное — только в трёхмерном.

Как найти площадь треугольника через векторное произведение?

Построить на двух сторонах векторы $a$ и $b$ , вычислить $a \times b$ и взять половину его длины: $S = \frac{1}{2} a \times b$ . Для точек $A$ , $B$ , $C$ векторами служат $A B$ и $A C$ — приём закрывает заметную долю стереометрических задач на площади. У параллельных векторов произведение нулевое — площадь вырожденного треугольника действительно нулевая.