Векторное и смешанное произведение векторов: формулы, объём

Скалярное произведение превратило два вектора в число. Теперь наоборот: из двух векторов в пространстве мы получим третий — перпендикулярный обоим, длиной в площадь натянутого на них параллелограмма. А добавив ещё один вектор, одним определителем посчитаем объём параллелепипеда. Эти операции — рабочий инструмент механики (момент силы), инженерии (нормали к поверхностям) и всей геометрии курса.

Векторное произведение: определение#

Векторным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется вектор $\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$ (в русской традиции пишут также $[\vec{a},\vec{b}]$), который:

• имеет длину $|\vec{c}|=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\sin \phi$, где $\phi$ — угол между векторами
• перпендикулярен обоим множителям: $\vec{c}\perp \vec{a}$ и $\vec{c}\perp \vec{b}$
• смотрит так, что тройка $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ — правая

Правая тройка означает: если смотреть с конца вектора $\vec{c}$, поворот от $\vec{a}$ к $\vec{b}$ по кратчайшему пути идёт против часовой стрелки. Мнемоник несколько: правило правой руки (четыре пальца от $\vec{a}$ к $\vec{b}$, большой палец показывает $\vec{c}$) или правило буравчика. Геометрический смысл длины: $|\vec{a}\times \vec{b}|$ — площадь параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах.

Координатная формула через определитель#

Строить вектор по правилу правой руки в тетради неудобно. На практике множители задают координатами и раскрывают определитель третьего порядка, в первой строке которого стоят орты:

• $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$ — антикоммутативность
• $(\lambda \vec{a})\times \vec{b}=\lambda (\vec{a}\times \vec{b})$ — число выносится
• $(\vec{a}+\vec{b})\times \vec{c}=\vec{a}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}$ — дистрибутивность
• $\vec{a}\times \vec{a}=\vec{0}$; вообще $\vec{a}\parallel \vec{b}⟺\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$

Критерий коллинеарности из последнего пункта конкурирует с проверкой пропорциональности координат из урока про векторы и линейные операции: произведение равно нулю — векторы коллинеарны, и наоборот. Для векторов с нулевыми координатами крест-формула часто спасает, где пропорции уже не проверяются делением.

Смешанное произведение: объём параллелепипеда#

Возьмём три вектора $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ и перемножим цепочкой: сначала векторно, потом скалярно. Результат — число, смешанное произведение $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})$. Его геометрический смысл — объём параллелепипеда, построенного на трёх векторах, со знаком плюс для правой тройки и минус для левой:

Циклическая перестановка векторов знак не меняет: $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{b},\vec{c},\vec{a})=(\vec{c},\vec{a},\vec{b})$. А вот перестановка двух соседних переворачивает знак — ориентация тройки важна. Треугольная пирамида (тетраэдр) имеет объём в шесть раз меньше параллелепипеда: $V_{\text{тетр}}=|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|/6$.

1. 1
   Векторы: $\vec{a}=(1,2,0)$, $\vec{b}=(0,1,1)$, $\vec{c}=(2,0,1)$.
2. 2
   Собираем определитель из строк-координат: $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right|$.
3. 3
   Разложение по первой строке: $1\cdot (1\cdot 1-1\cdot 0)-2\cdot (0\cdot 1-1\cdot 2)+0=1+4=5$.
4. 4
   Смешанное произведение равно 5: параллелепипед имеет объём 5, тетраэдр на тех же векторах — объём $5/6$.
5. 5
   Знак положительный — тройка правая, ориентация совпадает со стандартной.

Теперь у векторов полный арсенал: сложение, два произведения и два критерия — коллинеарность через $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$, компланарность через смешанное произведение. Применяем арсенал к геометрии: прямая на плоскости — первое место, где скалярное произведение внезапно окажется формулой самой прямой.

Считаем на классике: $\vec{a}=(1,2,3)$ и $\vec{b}=(4,5,6)$. Векторное произведение собирается как определитель с ортами в первой строке. Первая компонента: $2\cdot 6-3\cdot 5=12-15=-3$. Вторая — внимание, разность в обратном порядке: $3\cdot 4-1\cdot 6=12-6=6$. Третья: $1\cdot 5-2\cdot 4=5-8=-3$. Итог $(-3,6,-3)$, сборка целиком — в формуле ниже. Почему во второй компоненте порядок перевёрнут? Шахматка знаков плюс-минус-плюс даёт середине минус, и кто этого не помнит, теряет знак. Проверка перпендикулярностью: $\vec{a}\cdot \vec{c}=-3+12-9=0$ и $\vec{b}\cdot \vec{c}=-12+30-18=0$ — результат стоит поперёк обоих множителей. Модуль $\sqrt{9+36+9}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}\approx 7,35$ — столько квадратных единиц занимает параллелограмм, а треугольник на тех же векторах занимает половину. Забавный ориентир: оба вектора живут в первом октанте, а их произведение смотрит в сторону отрицательных координат — перпендикуляр ничуть не обязан лежать между множителями.

Как запомнить

1. Схема определителя: орты сверху, первый вектор в средней строке, второй — в нижней.
2. Компоненты: $a_2{b}_3-a_3{b}_2$, затем $a_3{b}_1-a_1{b}_3$, затем $a_1{b}_2-a_2{b}_1$ — середина с обратным знаком, её портят чаще всего.
3. Нулевой результат — коллинеарность: быстрейший тест параллельности, быстрее сравнения координат.
4. Модуль — площадь параллелограмма; половина — площадь треугольника на тех же векторах.
5. Смешанное произведение — число, объём параллелепипеда; ноль означает компланарность трёх векторов.
6. Техника определителей собрана в уроке про определители — здесь она главная рабочая лошадка.

Отдельного разговора заслуживает смешанное произведение — та же тройка векторов, но с двумя операциями подряд: сначала векторное, потом скалярное. Число по модулю равно объёму параллелепипеда, натянутого на три вектора, а знак кодирует ориентацию тройки: правая — плюс, левая — минус. Практический тест на компланарность выглядит элегантно: подозреваете, что три вектора лежат в одной плоскости, — считайте смешанное произведение; ноль закрывает вопрос без рисунков. Для векторов $(1,2,3)$, $(4,5,6)$ и $(7,8,9)$ смешанное произведение равно нулю: векторы действительно сидят в одной плоскости, координаты образуют арифметические прогрессии. Геометры говорят о «ящике» трёх векторов как о мере независимости: нулевой ящик — один вектор лишний, он собирается из соседей; полный ящик — набор честно трёхмерен.

Дополнительная проверка площади — любимый приём преподавателей, и вот как он решается. Векторы $(1,2,3)$ и $(4,5,6)$ имеют длины $\sqrt{14}$ и $\sqrt{77}$, их скалярное произведение $4+10+18=32$. Тогда квадрат синуса: $1-32^2/(14\cdot 77)=1-1024/1078=54/1078$, и площадь выходит $\sqrt{14\cdot 77\cdot 54/1078}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$ — модуль произведения совпал. Две дороги к одной площади: через координаты векторного произведения и через угол с длинами. Совпадение не случайно — это одна и та же формула $|\vec{a}||\vec{b}|\sin \phi$, записанная без единого синуса. Если дороги дали разное — ошибка в арифметике, а не в теории; первым перепроверяйте скалярное произведение. И для треугольника не забудьте половину — самая частая потеря баллов на экзамене.