Прямая на плоскости: уравнения, векторы нормали, расстояние

Прямая — простейшая кривая, и у неё есть сюрприз: её уравнение спрятано в скалярном произведении. Условие «точка лежит на прямой» — это условие перпендикулярности двух векторов, записанное координатами. Дальше всё разворачивается механически: нормальные векторы, углы между прямыми, расстояние от точки — и ни одного построения циркулем. Аналитическая геометрия вообще про это: геометрические вопросы превращаются в алгебраические, а векторы становятся языком.

Общее уравнение прямой#

Общее уравнение прямой на плоскости выглядит так:

Числа $A$ и $B$ — не случайные: вектор $\vec{n}=(A,B)$ называется нормальным вектором прямой, он перпендикулярен ей. Проверим, откуда это берётся. Пусть $M_0(x_0,y_0)$ — точка на прямой, а $M(x,y)$ — произвольная точка плоскости. Точка $M$ лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор $\overrightarrow{M_{0}M}=(x-x_0,y-y_0)$ перпендикулярен $\vec{n}$, то есть их скалярное произведение равно нулю:

Раскройте скобки — получится $Ax+By+(-A{x}_0-B{y}_0)=0$, а константа $-A{x}_0-B{y}_0$ и есть число $C$. Пример: прямая через точку $(2,-1)$ с нормалью $(3,4)$: $3(x-2)+4(y+1)=0$, раскрываем — $3x+4y-2=0$. Быстро и без единого рисунка.

Нормальный вектор пригождается вдвойне: он же служит для построения перпендикуляров. Нужна прямая, перпендикулярная данной? Возьмите её нормаль за направляющий вектор. Нужна параллельная? Оставьте нормаль той же и смените $C$.

Другие формы: каноническая, через две точки, с угловым коэффициентом#

Все формы переводятся друг в друга арифметикой. Например, прямая через точки $(1,3)$ и $(3,7)$: направляющий вектор $(2,4)$, каноническое уравнение $\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{4}$. По свойству пропорции: $4(x-1)=2(y-3)$, после раскрытия — $2x-y+1=0$. Знакомый вид: общее уравнение.

Взаимное расположение двух прямых#

Пусть две прямые заданы общими уравнениями с нормалями $\overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1)$ и $\overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2)$. Всё разнообразие ситуаций считывается по этим векторам:

• прямые параллельны $⟺\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\ne \frac{C_1}{C_2}$ — нормали пропорциональны, а свободные члены нет
• прямые совпадают $⟺\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$ — все коэффициенты пропорциональны
• прямые перпендикулярны $⟺A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$ — перпендикулярны нормали
• угол между прямыми: $\cos \phi =\frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$

Проверьте на примере: прямые $2x+3y=1$ и $6x+9y=5$. Отношения $2/6=3/9=1/3$, но $1/5\ne 1/3$ — параллельны и не совпадают. А прямые $2x+3y=1$ и $3x-2y=4$? Скалярное произведение нормалей $2\cdot 3+3\cdot (-2)=0$ — перпендикулярны.

Точка пересечения ищется как решение системы двух линейных уравнений — любым способом из арсенала: Крамером, Гауссом или подстановкой. Для прямых $2x+3y=1$ и $3x-2y=4$ ответ $(14/13,-5/13)$: не круглое — обычное дело.

Расстояние от точки до прямой#

Формула, которую стоит выучить наизусть — она возникает и в задачах на окружности, и в оптимизации:

Логика формулы: числитель — значение уравнения прямой в точке, знаменатель — длина нормали. Для прямой $3x+4y-2=0$ и начала координат: $d=\frac{|3\cdot 0+4\cdot 0-2|}{\sqrt{9+16}}=\frac{2}{5}=0.4$. Заметьте: расстояние всегда неотрицательно, модуль обязателен. Знак числителя до модуля подсказывает, по какую сторону прямой лежит точка — этим удобно пользоваться, когда нужно разделить плоскость на две части.

Прямая освоена: нормаль, направляющий вектор, расстояние, взаимное расположение. Следующий уровень — кривые, у которых уравнение уже нелинейное: эллипс, парабола и гипербола ждут в уроке про кривые второго порядка.

Соберём прямую по двум точкам: $A(1,2)$ и $B(4,6)$. Направляющий вектор — разность концов: $(3,4)$, египетская пятёрка в роли длины. Каноническое уравнение — дробь из формулы ниже; избавляемся от дробей перекрёстным умножением: $4(x-1)=3(y-2)$, раскрываем скобки и собираем всё слева: $4x-3y+2=0$. Проверка точками: $A$ даёт $4-6+2=0$, $B$ даёт $16-18+2=0$ — обе легальны. Из общего уравнения читаются бонусы: нормаль $(4,-3)$, длина её пять, расстояние от начала координат $|2|/5=0,4$. Направляющий и нормаль перпендикулярны: $3\cdot 4+4\cdot (-3)=0$ — два вектора описывают одну прямую с двух сторон. В задачниках любят спрашивать угол между прямыми: он равен углу между нормалями или между направляющими — считайте через скалярное произведение, но не смешивайте пары. Кстати, угловой коэффициент здесь $4/3$ — отношение координат направляющего; для вертикальных прямых он бессмыслен, и общая форма выручает.

Как запомнить

1. Даны две точки? Направляющий — разность координат, каноническое уравнение, затем общая форма.
2. В общем уравнении $Ax+By+C=0$ нормаль — это $(A,B)$, направляющий — $(B,-A)$.
3. Расстояние от точки до прямой: модуль подстановки, делённый на длину нормали; для начала координат и $3x+4y-2=0$ это две пятых.
4. Параллельность: пропорциональны коэффициенты при $x$ и $y$; совпадение — плюс пропорциональность свободных членов.
5. Пересечение прямых — система двух линейных уравнений; инструменты перечислены в правиле Крамера, при нулевом определителе прямые параллельны или совпадают.

Разберём вторую частую задачу — расстояние от точки до прямой в действии. Точка $P(2,1)$, прямая $3x+4y-5=0$. Подстановка: $3\cdot 2+4\cdot 1-5=5$; длина нормали $\sqrt{9+16}=5$; расстояние — ровно единица. Обратите внимание на геометрию: подстановка без деления показывает, «во сколько раз» точка дальше нормы, а знак плюс говорит, что она с той стороны, куда смотрит нормаль. Возьмите точку $Q(-2,1)$: подстановка даёт $-6+4-5=-7$, расстояние $7/5=1,4$, знак минус — противоположная сторона. Две точки по разные стороны от прямой — и расстояния это подтверждают, никакой картинки не потребовалось. Проверьте и частный случай: подставьте точку самой прямой — подстановка даст ноль, расстояние тоже. Такой расчёт занимает минуту и заменяет построение целиком.