Прямая и плоскость в пространстве: уравнения, углы, расстояния

Наведите телефон на стену — приложение дополненной реальности рисует мебель, которая «прилипает» к полу и не проваливается сквозь стены. За этим стоит арифметика: комната описана набором плоскостей, луч камеры — прямой, и программа ежемгновенно решает, где они пересекаются. После этого урока вы сможете повторить расчёт на бумаге — без всякого приложения.

Плоскость: один вектор решает всё#

Плоскость в пространстве однозначно задаётся точкой и нормальным вектором — ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости. Всякий вектор, лежащий в плоскости, ортогонален нормали, а равенство скалярного произведения нулю и даёт уравнение:

Читаем по буквам: $A,B,C$ — координаты нормали, $x,y,z$ — координаты произвольной точки плоскости, $D$ — число, подбираемое по точке. Если $D=0$, плоскость проходит через начало координат: подставьте $(0,0,0)$ и проверьте. Плоскость $2x-y+3z=0$ с нормалью $(2,-1,3)$ именно такова.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость — это аксиома стереометрии. Практический способ: сначала найти нормаль как векторное произведение двух векторов, натянутых на точки, а затем подставить одну из точек и вычислить $D$. Разберём на конкретных числах: точки $A(1,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,3)$. Векторы $\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)$ и $\overrightarrow{AC}=(-1,0,3)$.

Уравнение с такой нормалью: $6x+3y+2z+D=0$. Подставляем точку $A(1,0,0)$: $6+D=0$, значит $D=-6$. Итог: $6x+3y+2z=6$. Проверка на глаз — точки $B$ и $C$ дают те же $6$: $3\cdot 2=6$ и $2\cdot 3=6$. Плоскость собрана корректно.

Прямая: точка плюс направление#

Прямой в пространстве нужны два ингредиента: точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ на ней и направляющий вектор $\vec{s}=(m,n,p)$ — любой ненулевой вектор, параллельный прямой. Точка плюс масштабируемое направление дают параметрическую запись, а после исключения параметра — каноническую:

Пример: прямая через точку $(1,2,-1)$ с направляющим вектором $(2,0,3)$ записывается как $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{0}=\frac{z+1}{3}$. Знаменатель $n=0$ выглядит пугающе — а означает лишь, что координата $y$ всюду на прямой равна двум. Параметрически: $x=1+2t$, $y=2$, $z=-1+3t$; при любом $t$ вторая координата не трогается с места.

А если прямая задана как пересечение двух плоскостей? Возьмём $x+y+z=6$ и $x-y=0$. Направляющий вектор перпендикулярен обеим нормалям $(1,1,1)$ и $(1,-1,0)$, поэтому считается их векторным произведением:

Точку на прямой найдём, зафиксировав одну координату: из $x-y=0$ положим $x=y=t$, тогда $z=6-2t$. При $t=2$ получается точка $(2,2,2)$ — подставьте в обе плоскости и убедитесь. Параметрическая запись готова: $x=t$, $y=t$, $z=6-2t$; при сдвиге параметра на единицу точка смещается ровно на $(1,1,-2)$ — тот самый направляющий вектор.

Углы и расстояния: два ружья наперевес#

Угол между плоскостями — это угол между их нормалями, только взятый по модулю (тупой вариант разворачивают в острый):

Пример, где всё видно сразу: плоскости $2x-y+z=0$ и $x+y-z=3$. Нормали $(2,-1,1)$ и $(1,1,-1)$; произведение $2-1-1=0$ — плоскости перпендикулярны, никакой арифметики со знаменателем не потребовалось. Ноль в числителе — мгновенный ответ $90^{\circ }$.

Расстояние от точки до плоскости — самая часто встречающаяся формула темы, и она дружелюбна:

Считаем для точки $M(2,-1,3)$ и плоскости $x+2y-2z+4=0$: числитель $|2-2-6+4|=2$, знаменатель $\sqrt{1+4+4}=3$, ответ $d=2/3\approx 0.67$. Знак выражения $A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D$ к тому же говорит, по какую сторону от плоскости лежит точка — этим пользуются при проверке попадания луча в многогранник в графических движках.

Расстояние от точки до прямой в пространстве считается через векторное произведение: модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, а она равна основанию на высоту. Поделив площадь на длину основания $|\vec{s}|$, получаем высоту — расстояние:

Проверим на конкретике: точка $M(0,0,0)$, прямая через $M_0(1,1,1)$ с направлением $\vec{s}=(1,-1,0)$. Вектор $\overrightarrow{M_{0}M}=(-1,-1,-1)$, произведение $\overrightarrow{M_{0}M}\times \vec{s}=(-1,-1,2)$, его длина $\sqrt{6}$, длина $\vec{s}$ равна $\sqrt{2}$. Ответ $d=\sqrt{6}/\sqrt{2}=\sqrt{3}\approx 1.73$. Контрольная проверка другим способом: минимизируем квадрат расстояния $(1+t{)}^2+(1-t{)}^2+1=3+2t^2$ — минимум при $t=0$, то есть $3$. Сходится до последнего знака.

Родственное вычисление — расстояние между параллельными плоскостями. Возьмём $x+2y-2z+4=0$ и $x+2y-2z-8=0$: нормали одинаковы, значит плоскости параллельны. Берём любую точку первой — например $(-4,0,0)$, она удовлетворяет $-4+0-0=-4$ — и считаем расстояние до второй: $|-4-8|/3=4$. Общая формула для пары плоскостей с одинаковой нормалью — $|D_2-D_1|/|\vec{n}|$, и здесь $|-8-4|/3=4$. Всё тот же приём: сведи новую задачу к расстоянию от точки до плоскости.

Точка встречи: прямая и плоскость

Самый частый практический вопрос — где прямая протыкает плоскость. Алгоритм короткий: параметрическая запись прямой подставляется в уравнение плоскости, получается линейное уравнение относительно параметра, из него — точка. Прогоним на паре: прямая $x=1+2t$, $y=t$, $z=-1+3t$ и плоскость $2x+y-z=4$.

1. 1
   Подставляем параметрические выражения в уравнение плоскости: $2(1+2t)+t-(-1+3t)=4$.
2. 2
   Раскрываем и упрощаем: $2+4t+t+1-3t=4$, то есть $3+2t=4$, откуда $t=1/2$.
3. 3
   Возвращаемся к координатам: $x=1+2\cdot 1/2=2$, $y=1/2$, $z=-1+3/2=1/2$. Точка $(2,1/2,1/2)$.
4. 4
   Проверка подстановкой в плоскость: $2\cdot 2+1/2-1/2=4$ — сходится. Прямая и плоскость встретились ровно здесь.
5. 5
   Диагностика на будущее: получилось бы тождество $0=0$ — прямая целиком лежит в плоскости; противоречие вида $5=0$ — прямая ей параллельна и не пересекает.

Тема замыкается на матрицы: систему из уравнений прямой и плоскости можно решать и как систему линейных уравнений, а подстановка параметрической записи в уравнение плоскости даёт линейное уравнение относительно $t$. Если захочется освежить операции с матрицами и векторами, вернитесь к урокам про прямую на плоскости — трёхмерный случай повторяет её почти дословно, прибавляется лишь третья координата. Технику векторных произведений мы подробно разбирали в материале про векторное и смешанное произведения.

• Нормаль перпендикулярна плоскости, направляющий вектор параллелен прямой — выпишите их в столбик до начала вычислений
• Векторное произведение двух векторов даёт перпендикуляр к обоим: так добывают и нормаль по трём точкам, и направление прямой пересечения
• Расстояние всегда = модуль в числителе делить на длину вектора в знаменателе; пропущенное деление — ошибка номер один
• Ноль скалярного произведения — мгновенный ответ о перпендикулярности, пропорциональность векторов — о параллельности