Линейные неоднородные ДУ: метод неопределённых коэффициентов

Качели, которые раскачивают вовремя, идут вразнос. Радиоприёмник ловит именно ту станцию, на частоту которой настроен. Вибрация разрушает детали машин, если частота совпала с собственной. Всё это — линейные неоднородные уравнения, в которых правая часть «толкает» систему. Сегодня научимся решать их двумя методами — и заодно поймём, почему инженеры так боятся слова «резонанс».

Структура решения: однородное плюс частное#

Рассмотрим уравнение

При $f\equiv 0$ оно однородное — решать его вы уже умеете через характеристическое уравнение. В неоднородном случае действует фундаментальная теорема о структуре общего решения:

Почему так? Подставьте сумму в уравнение: однородная часть занулится по определению $\bar{y}$, а $y^{\ast }$ даст ровно $f(x)$. Константы сидят в $\bar{y}$ — их ровно две, как положено уравнению второго порядка. Никакие новые константы в $y^{\ast }$ не нужны: это просто одна конкретная функция, «переваривающая» правую часть.

Метод неопределённых коэффициентов: угадываем по форме#

Если правая часть — многочлен, экспонента, синус или их комбинация, частное решение существует в том же духе, и его можно подобрать. Логика: дифференцирование таких функций не меняет их породу — производная экспоненты есть экспонента, производная синуса есть синус с косинусом, производная многочлена есть многочлен. Значит, можно потребовать, чтобы $y^{\ast }$ имел ту же форму, и найти коэффициенты алгеброй. Отсюда и название метода.

Одна оговорка ломает половину контрольных: если пробуемая форма совпадает с решением однородного уравнения, домножаем её на $x$ (а при кратном корне — на $x^2$). Это и есть резонанс в чистом виде: внешняя сила бьёт в тон с собственной частотой системы, отклик растёт линейно со временем. Формальный признак: число $\alpha +\beta i$ из правой части — корень характеристического уравнения.

Пример 1: без резонанса

Пример 2: резонанс с экспонентой

Уравнение $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=e^x$. Однородное: ${\lambda }^2-2\lambda +1=(\lambda -1{)}^2$, корень $\lambda =1$ кратный, $\bar{y}=(C_1+C_{2}x)e^x$. Правая часть $e^x$ — в точности однородное решение, поэтому пробовать $y^{\ast }=A{e}^x$ бессмысленно: подстановка даст ноль вместо $e^x$. Домножаем на $x$ — снова ноль (кратность!). Рабочая форма: $y^{\ast }=A{x}^2{e}^x$.

Считаем производные: $y^{\ast \prime }=(2Ax+A{x}^2)e^x$, $y^{\ast \prime \prime }=(2A+4Ax+A{x}^2)e^x$. Подставляем в уравнение: $(2A+4Ax+A{x}^2-4Ax-2A{x}^2+A{x}^2)e^x=2A{e}^x$. Равенство $2A{e}^x=e^x$ даёт $A=1/2$. Итог: $y=(C_1+C_{2}x)e^x+\frac{x^2}{2}{e}^x$. Заметьте хвост $x^2/2e^x$: он растёт со временем гораздо быстрее правой части — так выглядит резонанс на формулах.

1. 1
   Однородное: ${\lambda }^2+\lambda =\lambda (\lambda +1)=0$, корни $\lambda =0$ и $\lambda =-1$, значит $\bar{y}=C_1+C_2{e}^{-x}$
2. 2
   Правая часть — многочлен первой степени; обычно пробовали бы $y^{\ast }=ax+b$. Но $0$ — корень характеристического уравнения: резонанс, домножаем на $x$
3. 3
   Рабочая форма: $y^{\ast }=x(ax+b)=a{x}^2+bx$. Производные: $y^{\ast \prime }=2ax+b$, $y^{\ast \prime \prime }=2a$
4. 4
   Подстановка в $y^{\prime \prime }+y^{\prime }=x$: $2a+2ax+b=x$. Приравниваем коэффициенты: $2a=1\Rightarrow a=1/2$; $2a+b=0\Rightarrow b=-1$
5. 5
   Частное решение $y^{\ast }=\frac{x^2}{2}-x$. Общее: $y=C_1+C_2{e}^{-x}+\frac{x^2}{2}-x$

Пример 3: резонанс с синусом

Классика: $y^{\prime \prime }+y=\sin x$. Характеристическое уравнение ${\lambda }^2+1=0$, корни $\pm i$ — а правая часть $\sin x$ соответствует числу $0+1\cdot i$, которое ровно среди них. Резонанс! Пробуем $y^{\ast }=x(C\cos x+D\sin x)$ и после подстановки получаем $-2C\sin x+2D\cos x=\sin x$, откуда $C=-1/2$, $D=0$. Частное решение $y^{\ast }=-\frac{x\cos x}{2}$.

Итого $y=C_1\cos x+C_2\sin x-\frac{x\cos x}{2}$. Посмотрите на этот ответ внимательно: амплитуда колебаний растёт линейно с $x$ — качели раскачиваются без предела. История Такомского подвесного моста (США, 1940 год), разрушившегося от ветровых колебаний, началась как учебник резонанса; современные инженеры добавляют к картине аэроупругий флаттер, но вывод не меняется: совпала частота — конструкция в опасности.

А если правая часть — сумма «хороших» кусков, работает принцип суперпозиции: разбейте $f$ на слагаемые, для каждого подберите своё $y^{\ast }$ и сложите их. Например, для $f(x)=18x+15+e^x$ ответ объединил бы решения всех трёх разобранных случаев. Для «плохих» правых частей вроде $\mathrm{tg}x$ или $1/(x+1)$ подбор не работает — там спускается с неба метод вариации параметров (Лагранжа): решение ищут в форме $\bar{y}$ с функциями вместо констант, $y=C_1(x)y_1+C_2(x)y_2$, а $C_1^{\prime }(x)$ и $C_2^{\prime }(x)$ находят из системы с вронскианом $W=y_1{y}_2^{\prime }-y_1^{\prime }{y}_2$. Приём тяжеловесный, но универсальный — держите его в кармане на случай экзотики.

Тренировочный пример без резонанса: $y'' + y = 4\cos 2x$

1. 1
   Однородное: ${\lambda }^2+1=0$, корни $\pm i$, значит $\bar{y}=C_1\cos x+C_2\sin x$
2. 2
   Правой части $\cos 2x$ отвечает число $0+2i$. Сравниваем с корнями $\pm i$: не совпадает — резонанса нет
3. 3
   Пробуем $y^{\ast }=A\cos 2x$. Подстановка: $y^{\ast \prime \prime }=-4A\cos 2x$, уравнение даёт $-4A+A=4$
4. 4
   Отсюда $-3A=4$, $A=-\frac{4}{3}$. Ответ: $y=C_1\cos x+C_2\sin x-\frac{4}{3}\cos 2x$
5. 5
   Проверка частного: ${\left(-\frac{4}{3}\cos 2x\right)}^{\prime \prime }+\left(-\frac{4}{3}\cos 2x\right)=\frac{16}{3}\cos 2x-\frac{4}{3}\cos 2x=4\cos 2x$ — сошлось

Заметьте минус у амплитуды: частное решение колеблется в противофазе с внешней силой. Это не ошибка и не экзотика — при частоте вынуждающей силы выше собственной отклик переворачивается. Физики называют это сменой фазы, и в задачах с графиком такой минус часто и есть проверяемый пункт.

• Сначала всегда однородное уравнение — без $\bar{y}$ ответ неполный
• Выписать число $\alpha +\beta i$ из правой части и сравнить с корнями характеристического уравнения
• Совпало — домножить пробу на $x$ (при кратном корне — на $x^2$)
• Приравнивать коэффициенты построчно — при одинаковых функциях, а не «на глаз»

Физический словарь к ответу $y=\bar{y}+y^{\ast }$. Слагаемое $\bar{y}$ с константами — переходный процесс: он зависит от того, как систему запустили, и со временем умирает (при отрицательных корнях характеристического уравнения). Слагаемое $y^{\ast }$ — установившийся режим: то, к чему система забывает свой старт. Включили мотор — сначала переходные колебания, потом ровный гул установившегося режима. В радиотехнике приёмником интересуется именно установившийся режим: константы отмирают за доли секунды.

Отсюда разумная экономия в инженерных задачах: если спрашивают «что будет через час», слагаемое с константами можно не вычислять — оно давно мертво. Но на контрольной так экономить не советуем: пока в условии не сказано «найти установившийся режим», полное решение обязано содержать обе части.

Неоднородные уравнения — вершина линейной теории, и дальше эта техника переезжает в системы: несколько уравнений с несколькими неизвестными функциями, векторные решения, собственные значения матриц. Об этом — урок про системы ДУ. Если тригонометрические формы даются тяжело, повторите тригонометрические формулы — половина ошибок в подборе случается из-за путаницы с синусами и косинусами. И держите в уме таблицу производных: без неё ни одна проверка подстановкой не сходится.