Уравнение Эйлера—Коши: подстановка x = e^t и степенные решения

Стационарное тепло в цилиндрической стенке — труба с горячим паром внутри и холодным воздухом снаружи — описывается задачей, в которой радиус играет роль переменной. Баланс тепла даёт $(r{\phi }^{\prime }{)}^{\prime }=0$, или после раскрытия: $r^2{\phi }^{\prime \prime }+r{\phi }^{\prime }=0$. Смотрите: коэффициент при старшей производной — не число, а $r^2$. Характеристическое уравнение из линейной теории здесь бессильно: оно заточено под постоянные коэффициенты. Такие уравнения — старшая производная умножена на $x^2$, первая на $x$, нулевая на константу — зовутся уравнениями Эйлера—Коши, и у них есть собственный приём, не менее элегантный, чем характеристическое уравнение.

Идея: степенная функция — новая экспонента#

Для уравнения с постоянными коэффициентами решение ищется как $e^{kx}$, потому что экспонента при дифференцировании воспроизводит себя, лишь умножаясь на $k$. В уравнении Эйлера—Коши производная работает по другому тарифу: $(x^k{)}^{\prime }=k{x}^{k-1}$ — степень съедается на единицу. Но вторая производная умножается на $x^2$, первая на $x$ — и сдвиги степеней компенсируются! Подставим пробное решение $y=x^k$ в $x^2{y}^{\prime \prime }+ax{y}^{\prime }+by=0$: каждый член вернёт одну и ту же степень $x^k$, и перед ней останется квадратное уравнение на $k$. Фундаментальную систему образуют степени.

Есть и второй взгляд, который работает шире: замена $x=e^t$, то есть $t=\ln x$ (для $x>0$; случай $x<0$ сводится заменой $x=-e^t$). Новая независимая переменная $t$ сжимает положительную полуось в целую прямую: $x\to 0^{+}$ — это $t\to -\infty$, $x\to +\infty$ — это $t\to +\infty$. Производные пересчитываются по цепному правилу, и арифметика складывается в компактную таблицу:

Подстановка превращает исходное уравнение в уравнение с постоянными коэффициентами: $x^2{y}^{\prime \prime }+ax{y}^{\prime }+by=0$ переходит в $\ddot{u}+(a-1)\dot{u}+bu=0$. Дальше работает весь арсенал из линейных однородных уравнений: характеристическое уравнение $k^2+(a-1)k+b=0$, дискриминант, три случая корней.

Три случая корней — три вида решений#

Вернёмся к цилиндрической стенке: $r^2{\phi }^{\prime \prime }+r{\phi }^{\prime }=0$ имеет $a=1$, $b=0$, характеристическое уравнение $k^2=0$ — двукратный корень. Решение $\phi =C_1+C_2\ln r$. Физика аплодирует: температура между коаксиальными цилиндрами распределена по логарифму радиуса, и это не совпадение с формулой сопротивления цилиндрической стенки из курса теплопередачи, а одно и то же. Уравнение с переменными коэффициентами, решённое за два действия, выдало инженерный стандарт.

Комплексные корни дают решения, которые в исходных переменных выглядят экзотично, а после замены — тривиально. Уравнение $x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+y=0$: характеристическое $k^2+1=0$, корни $\pm i$, то есть $\alpha =0$, $\beta =1$. Ответ: $y=C_1\cos (\ln x)+C_2\sin (\ln x)$. Решение колеблется бесконечно много при $x\to 0^{+}$ и замедляется к нулю частоты при $x\to \infty$ — логарифм растягивает окрестность нуля в бесконечность, и каждое колебание занимает всё больший отрезок оси. Фазовый портрет после замены — обычный центр из теории устойчивости.

Первый этаж: уравнение первого порядка#

Замена работает и на первом порядке. Уравнение $x{y}^{\prime }+y=0$ — это $(xy{)}^{\prime }=0$, откуда $y=C/x$. Обратите внимание на геометрию: все интегральные кривые — гиперболы, и все они прячутся от начала координат. Точка $x=0$ особая: коэффициент при старшей производной обнуляется, уравнение теряет власть, и решения ведут себя не как гладкие экспоненты, а как степени с любым показателем. Именно поэтому в задаче Коши для Эйлера—Коши начальные условия ставят в точке $x_0\ne 0$ — в нуле постановка разваливается.

Неоднородное уравнение: подбор и вариация#

Правая часть вида $x^m$ подбирается так же, как $e^{\lambda x}$ у постоянных коэффициентов: частное решение ищем в форме $A{x}^m$, если $m$ не совпадает с корнем характеристического уравнения, и со степенью выше, если совпадает (резонанс). Общий рецепт для произвольной правой части — вариация постоянной после замены $x=e^t$: в переменной $t$ это обычное линейное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью $f(e^t)$.

Разберём коротко: $x^2{y}^{\prime \prime }-2y=x$. Характеристическое уравнение $k^2-k-2=0$, корни $2$ и $-1$, общее однородное $y=C_1{x}^2+C_2{x}^{-1}$. Правая часть $x^1$, единица не корень, ищем $y^{\ast }=Ax$: $y^{\ast }=Ax$, $y^{\ast \prime }=A$, $y^{\ast \prime \prime }=0$, подстановка $-2Ax=x$, откуда $A=-1/2$. Итог: $y=C_1{x}^2+C_2{x}^{-1}-\frac{x}{2}$. После замены $x=e^t$ тот же пример выглядит как $\ddot{u}-\dot{u}-2u=e^t$ — и подбирается обычным методом из линейных неоднородных уравнений.

Кратный корень глазами фазовой плоскости#

После замены уравнение $x^2{y}^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+y=0$ стало $\ddot{u}-2\dot{u}+u=0$ — системой $\dot{u}=v$, $\dot{v}=2v-u$ с матрицей и кратным собственным значением $\lambda =1$. Такая точка равновесия — вырожденный узел: все траектории входят в него по одному касательному направлению, и на фазовой плоскости это выглядит как один-единственный «въезд» вместо веера. Наблюдайте: критический случай в фазовой плоскости и множитель $\ln x$ в решении — две картинки одной нехватки независимых решений.

• Эйлера—Коши: $x^2{y}^{\prime \prime }+ax{y}^{\prime }+by=0$; точка $x=0$ особая, начальные условия ставят при $x_0\ne 0$
• Замена $x=e^t$ даёт постоянные коэффициенты: $x{y}^{\prime }=\dot{u}$, $x^2{y}^{\prime \prime }=\ddot{u}-\dot{u}$
• Решения — степени $x^k$; кратный корень добавляет $\ln x$, комплексные — $\cos (\beta \ln x)$ и $\sin (\beta \ln x)$
• Правая часть $x^m$ подбирается как экспонента; при совпадении с корнем — степень выше (резонанс)

Полный пример с кратным корнем: $x^2{y}^{\prime \prime }-3x{y}^{\prime }+4y=0$ на $x>0$. Подстановка $y=x^m$ даёт $m(m-1)-3m+4=m^2-4m+4=(m-2{)}^2=0$ — корень $m=2$ двойной. По правилу кратных корней общее решение $y=(C_1+C_2\ln x)x^2$. Проверка подстановкой $y=x^2\ln x$: производные $y^{\prime }=x(2\ln x+1)$, $y^{\prime \prime }=2\ln x+3$, и после сборки левая часть обнуляется тождественно. Задача Коши $y(1)=2$, $y^{\prime }(1)=3$ даёт $C_1=2$, $C_2=1$: решение $y=(2+\ln x)x^2$.