Системы дифференциальных уравнений: собственные значения

Лисы и кролики. Напряжение и ток в колебательном контуре. Два химических вещества, которые реагируют друг с другом. Общего у этих пар то, что скорость изменения каждой величины зависит сразу от обеих: сколько лис — зависит от числа кроликов, а сколько родится кроликов — от того, кого съели. Такие связные истории описываются системами дифференциальных уравнений, и для их решения понадобится немного линейной алгебры — она окупается с процентами.

Нормальная форма и векторная запись#

Нормальной системой двух уравнений первого порядка называют

Здесь $x(t)$ и $y(t)$ — две искомые функции времени $t$. В векторной записи система сворачивается до одного уравнения ${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$, где $\mathbf{x}=(x,y{)}^T$ — вектор состояния, а $A$ — матрица коэффициентов. Общее решение нормальной системы двух уравнений содержит две произвольные константы. Начальные условия — пара чисел $x(t_0)=x_0$, $y(t_0)=y_0$: где оказались обе величины в начальный момент.

Плоскость $(x,y)$, по которой движется вектор состояния, называется фазовой плоскостью, а его траектория — фазовой траекторией. Одна и та же система порождает целое семейство траекторий — по одной на каждое начальное состояние. Эта картинка ценнее самого решения: по ней видно, затухает ли система, раскручивается или закручивается в предельный цикл.

Метод 1: исключение — сводим систему к одному уравнению#

Самый доступный приём — выпарить одну из функций. Выразим её из первого уравнения, продифференцируем и подставим во второе. Получится уравнение второго порядка, которое решается характеристическим методом из урока про однородные ДУ.

1. 1
   Из первого уравнения уже выражено: $y=x^{\prime }$. Дифференцируем: $y^{\prime }=x^{\prime \prime }$
2. 2
   Подставляем во второе уравнение: $x^{\prime \prime }=-x$, то есть $x^{\prime \prime }+x=0$ — знакомое гармоническое уравнение
3. 3
   Характеристическое уравнение ${\lambda }^2+1=0$ даёт $\lambda =\pm i$: $x=C_1\cos t+C_2\sin t$
4. 4
   Возвращаем $y=x^{\prime }$: $y=-C_1\sin t+C_2\cos t$
5. 5
   Проверка: $x^{\prime }=-C_1\sin t+C_2\cos t=y$ — первое уравнение выполнено; $y^{\prime }=-C_1\cos t-C_2\sin t=-x$ — второе тоже

Траектории этой системы на фазовой плоскости — окружности $x^2+y^2=R^2$ (сложите квадраты решений и уберите константы). Вектор состояния бежит по окружности с постоянной скоростью — это фазовый портрет идеального часового механизма без трения.

Переход работает и в обратную сторону, и это важно знать: любое уравнение $n$-го порядка превращается в систему $n$ уравнений первого порядка введением новых переменных. Уравнение маятника $x^{\prime \prime }=-x$ заменой $v=x^{\prime }$ распадается на систему $x^{\prime }=v$, $v^{\prime }=-x$ — ровно ту, что мы только что решили. Численные методы (включая всё тот же метод Эйлера) написаны именно для систем первого порядка, поэтому перед счётом любое уравнение сначала приводят к такому виду.

Метод 2: собственные значения матрицы#

Для линейной системы с постоянными коэффициентами есть приём покрасивее — прямой аналог характеристического уравнения. Ищем решение в виде экспоненты с вектором: $\mathbf{x}=\mathbf{v}{e}^{\lambda t}$, где $\mathbf{v}$ — постоянный вектор. Подстановка в ${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$ даёт $\lambda \mathbf{v}{e}^{\lambda t}=A\mathbf{v}{e}^{\lambda t}$, и экспонента сокращается:

Это определение собственного значения и собственного вектора матрицы. Ненулевые решения существуют, когда $\det (A-\lambda E)=0$ — характеристическое уравнение системы. Для каждого корня ${\lambda }_i$ находим свой вектор ${\mathbf{v}}_i$, и общее решение собирается как сумма:

Схема зеркально повторяет однородные уравнения: экспоненты, характеристическое уравнение, линейная комбинация. Только вместо скаляров — векторы. Согласованность не случайна: однородное уравнение второго порядка — это на самом деле замаскированная система.

Полный разбор: $x' = x + 2y$, $y' = 4x + 3y$

Обратите внимание на скорость: слагаемое $e^{5t}$ растёт в разы быстрее, чем гаснет $e^{-t}$. При больших $t$ решение почти ляжет на прямую вдоль вектора $(1,2)$ — это доминирующее направление. Начальные условия $x(0),y(0)$ дают систему двух линейных уравнений на $C_1,C_2$ — та самая линейная алгебра в момент работы.

Проделаем это до конца: пусть $x(0)=1$, $y(0)=0$. Подставляем $t=0$ в общее решение: $C_1+C_2=1$ и $2C_1-C_2=0$. Складывая уравнения после умножения первого на два: $4C_1=2$, откуда $C_1=1/3$, $C_2=2/3$. Частное решение: $x=\frac{1}{3}{e}^{5t}+\frac{2}{3}{e}^{-t}$, $y=\frac{2}{3}{e}^{5t}-\frac{2}{3}{e}^{-t}$. Быстрая проверка в точке $t=0$: $x=1/3+2/3=1$, $y=2/3-2/3=0$ — начальные условия выполнены.

Как выглядят фазовые портреты#

Тип корней определяет характер траекторий, и это стоит запомнить хотя бы словами:

Модель «хищник — жертва» добавляет к линейной системе квадратичные члены, и фазовый портрет становится семейством замкнутых кривых вокруг центра: популяции циклически гуляют — больше кроликов, потом больше лис, потом меньше кроликов, потом меньше лис, и снова сначала. Линейная теория — первый шаг к пониманию таких нелинейных картин.

Ещё пример с задачей Коши: $x' = 2x$, $y' = x + y$

1. 1
   Матрица $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$: характеристическое уравнение $(2-\lambda )(1-\lambda )=0$, корни ${\lambda }_1=2$, ${\lambda }_2=1$
2. 2
   Вектор для ${\lambda }_1=2$: $(A-2E)\mathbf{v}=0$ даёт $v_2=v_1$ — берём ${\mathbf{v}}_1=(1,1)$
3. 3
   Вектор для ${\lambda }_2=1$: строка $v_1=0$ — берём ${\mathbf{v}}_2=(0,1)$
4. 4
   Общее решение: $x=C_1{e}^{2t}$, $y=C_1{e}^{2t}+C_2{e}^t$
5. 5
   Условия $x(0)=1$, $y(0)=2$: $C_1=1$ и $1+C_2=2$, значит $C_2=1$
6. 6
   Проверка: $x^{\prime }=2e^{2t}=2x$ — первое уравнение; $y^{\prime }=2e^{2t}+e^t$ и $x+y=2e^{2t}+e^t$ — второе тоже

• Маршрут решения: матрица → характеристическое уравнение → корни → векторы → общее решение → начальные условия
• Число констант равно числу уравнений системы
• Собственный вектор определён с точностью до множителя — любой ненулевой выбор годится
• Комплексные корни? Та же схема: вещественная и мнимая части комплексного решения дают пару вещественных

Проговорим, что произошло с решением при больших $t$: слагаемое $e^{2t}$ доминирует над $e^t$, и траектория прижимается к прямой $y=x$ — направлению собственного вектора $(1,1)$. Фазовая плоскость такой системы — веер кривых, выходящих вдоль двух прямых: тип «неустойчивый узел» из таблицы фазовых портретов выше.

Как подключить начальные условия к общему решению с векторами? Подставьте $t=0$: экспоненты станут единицами, и останется система $C_1{\mathbf{v}}_1+C_2{\mathbf{v}}_2={\mathbf{x}}_0$ — линейная система на константы, где собственные векторы играют роль коэффициентов. Геометрия прозрачна: начальный вектор состояния разлагается по собственным направлениям матрицы, и каждое слагаемое дальше живёт своей экспонентой. Для матрицы $2\times 2$ это два уравнения — решаются подстановкой, определителями, как удобно.

• Собственные направления — «оси» поведения системы: вдоль них решение — чистая экспонента
• Комплексные корни дают вращение: фазовая точка наматывает спираль вокруг начала координат
• Кратные корни требуют присоединённых векторов — аналог множителя $x$ у одиночных уравнений
• Численно систему решают тем же методом Эйлера, шагая обоими компонентами сразу

И проверка на здравый смысл: собственные значения обязаны в сумме давать след матрицы, а в произведении — её определитель. Эта двухсекундная сверка ловит ошибку в знаке ещё до того, как вы потратили десять минут на собственные векторы. Держите её в привычке — как проверку размерностей в задачах механики.

Две функции, две константы, одна матрица — система ДУ оказывается не страшнее одиночного уравнения, просто линейная алгебра берёт на себя половину работы. А когда аналитического решения нет совсем (нелинейные системы из настоящей экологии или аэродинамики), включаются численные методы — о самом простом из них, методе Эйлера, поговорим в финальном уроке курса. Тренажёр решения систем линейных уравнений поможет набить руку на алгебраической части — поиске собственных векторов.