Краевые задачи для дифференциальных уравнений: как решать

Стержень между двумя стенами: левый конец приварен к котлу со ста градусами, правый торчит в холодном цеху. Найти, как температура распределится вдоль стержня, — значит решить дифференциальное уравнение, зная его поведение на двух концах сразу. Задача Коши с таким набором данных не справляется: ей нужны значение и производная в одной точке, а у нас — только значения в двух. Это и есть краевая задача. И у неё есть неприятный талант: решения может не существовать вовсе — или их может быть бесконечно много. Разберёмся, откуда это берётся и как с этим работать.

Чем краевая задача отличается от задачи Коши?#

Двухточечная краевая задача для уравнения второго порядка ставится так: найти решение $y^{\prime \prime }=f(x,y,y^{\prime })$, удовлетворяющее условиям $y(a)=A$ и $y(b)=B$ в двух разных точках $a$ и $b$. Сравните с задачей Коши, где оба условия сидят в одной точке: значение функции и значение производной. Кажущаяся мелочь — а меняет всё. Задача Коши при разумной правой части имеет ровно одно решение; краевая — ноль, одно или бесконечность.

Причина — в физике. Струна закреплена на обоих концах, температуры концов стержня заданы печью и улицей, балка опирается на две опоры. Природа диктует условия на границах, а не в одной стартовой точке, поэтому и математика другая. Основные типы условий:

• Условия Дирихле: значения функции на концах, $y(a)=A$, $y(b)=B$ — закреплённая струна, заданные температуры
• Условия Неймана: значения производной, $y^{\prime }(a)=A$, $y^{\prime }(b)=B$ — заданные потоки тепла или силы на концах
• Смешанные условия: значение функции на одном конце, производная — на другом
• Периодические условия: $y(a)=y(b)$ и $y^{\prime }(a)=y^{\prime }(b)$ — движение по замкнутой орбите

Термин краевая задача разобран в словаре; там же — про смешанную задачу для уравнений в частных производных, где идея та же, но границы уже не две точки, а целый контур.

Как решить краевую задачу для линейного уравнения?#

Схема решения та же, что у линейных уравнений второго порядка: строим общее решение, а константы подбираем не по начальным данным, а по краевым условиям. Разница прячется в финальном шаге: вместо двух готовых значений констант получается система двух линейных уравнений — и именно в ней живут все сюрпризы краевых постановок.

1. 1
   Характеристическое уравнение ${\lambda }^2+1=0$ даёт корни $\lambda =\pm i$.
2. 2
   Общее решение: $y=C_1\cos x+C_2\sin x$ — две свободные константы.
3. 3
   Первое условие: подставляем $x=0$, получаем $y(0)=C_1=0$ — константа $C_1$ выбита сразу.
4. 4
   Второе условие: $y(\pi /2)=C_2\cdot 1=2$, потому что $\cos (\pi /2)=0$, а $\sin (\pi /2)=1$.
5. 5
   Ответ: $y=2\sin x$. Проверка подстановкой: $y(0)=0$, $y(\pi /2)=2$, и $y^{\prime \prime }+y=-2\sin x+2\sin x=0$ — всё сходится.

Пара $\cos x$ и $\sin x$ — фундаментальная система решений: её вронскиан $W={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ не обращается в нуль ни в одной точке, решения независимы. Устройство линейных уравнений второго порядка по косточкам разобрано в уроке про линейные однородные ДУ, все нужные формулы собраны в шпаргалке по дифференциальным уравнениям.

Линейный случай разобран, но что делать с нелинейным $y^{\prime \prime }=f(x,y,y^{\prime })$? Рабочий приём — метод стрельбы: недостающее начальное условие подбирается перебором. Зафиксируем $y(a)=A$, возьмём пробное значение производной $y^{\prime }(a)=s$ и решим задачу Коши до точки $b$; промах по $y(b)$ подскажет, куда крутить $s$. Один-два выстрела с поправкой — и попадание в $B$: уравнение решается обычными средствами, хоть и численно. Проверьте себя: для $y^{\prime \prime }+y=0$ с условиями $y(0)=0$, $y(\pi /2)=2$ выстрел с $s=2$ попадает в цель сразу — решение $y=2\sin x$ мы уже нашли. Провал у метода ровно один: в резонансе попадания может не случиться ни при каком $s$ — и это сигнал вернуться к определителю $\Delta$.

Почему у краевой задачи может не быть решения?#

Оставим то же уравнение $y^{\prime \prime }+y=0$, но растянем отрезок до $[0,\pi ]$. Условие $y(0)=0$ снова даёт $C_1=0$. А второе условие упирается в факт $\sin \pi =0$: значение $y(\pi )=-C_1$ вообще не зависит от $C_2$. Управляет исходом одно число — определитель $\Delta$ системы уравнений на константы. Три постановки — три судьбы:

Случай $\Delta =0$ называют резонансом: однородная краевая задача $y^{\prime \prime }+y=0$ с условиями $y(0)=y(\pi )=0$ обзавелась нетривиальными решениями. В резонансе судьбу неоднородной постановки решает альтернатива Фредгольма: либо правая часть согласована с однородной задачей — и решений бесконечно много, либо не согласована — и решений нет вообще. Третьего не бывает, и проверяется это одной подстановкой.

Физика за этим понятная: на резонансной длине собственная форма колебаний отрезка вписывается в границы, и малые силы вызывают большие эффекты. Тот же механизм звучит в раскачке качелей в такт и в разрушении мостов ветром — крайняя, но честная иллюстрация того, что $\Delta =0$ не бывает мелочью.

Резонансные длины отрезка — не случайность, а предмет большой теории. Задача $X^{\prime \prime }+\lambda X=0$, $X(0)=X(L)=0$ имеет нетривиальные решения только при ${\lambda }_n={\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2$, причём решения — синусы $X_n=\sin \frac{n\pi x}{L}$. Это задачи Штурма–Лиувилля, фундамент метода Фурье: при $L=\pi$ получается ${\lambda }_n=n^2$, и $\lambda =1$ из нашего примера — первая ступенька этого ряда. Подробнее — в уроке про задачу Штурма–Лиувилля.

Что такое функция Грина и зачем она нужна?#

Вот струна, натянутая между двумя гвоздями. Троньте её кончиком пальца в одной точке $s$ — увидите характерный профиль: нули на гвоздях, наибольший прогиб возле пальца. Сдвиньте палец — профиль перестроится. Функция Грина $G(x,s)$ — это запись такого профиля: отклик в точке $x$ на единичный точечный источник в точке $s$. Распределённая нагрузка — просто сумма множества точечных, поэтому полное решение собирается интегралом.

Проверьте свойства сами, подстановкой. На концах: $G(0,s)=G(L,s)=0$. В точке $x=s$ обе ветки дают $\frac{s(s-L)}{L}$ — непрерывность. А производная скачет с $\frac{s-L}{L}$ до $\frac{s}{L}$, и скачок равен единице — ровно столько нужно, чтобы вторая производная «щёлкнула» дельта-функцией источника. Сложение откликов — это определённый интеграл в самом буквальном смысле слова.

Заметим попутно: $G(x,s)=G(s,x)$ — отклик в точке $x$ на источник в $s$ совпадает с откликом в $s$ на источник в $x$. Эта взаимность — общее свойство самосопряжённых операторов, на ней держится теория краевых задач; в задачах Штурма–Лиувилля она превращается в ортогональность собственных функций.

Число для доверия: возьмём $L=1$ и постоянную нагрузку $f=1$. Интеграл ${\int }_0^{1}G(x,s)ds$, посчитанный численно, даёт $-0.105$ при $x=0.3$ — и ровно $\frac{x(x-1)}{2}=\frac{0.3\cdot (-0.7)}{2}=-0.105$ по формуле. Знак минус честный: при таком соглашении функция Грина неположительна. Для струны под натяжением уравнение выглядит как $y^{\prime \prime }=-\frac{q}{T}$, знаки переворачиваются, и прогиб $y=\frac{q}{2T}x(L-x)$ выходит положительным: при $\frac{q}{T}=1$ и $L=1$ наибольший прогиб равен $0.125$ в середине — прогиб струны посчитан без единого решения уравнения в лоб.

Как температура распределяется по стержню?#

Вернёмся к стержню из начала урока. В стационарном режиме температура перестала меняться во времени, и уравнение теплопроводности выродилось в $T^{\prime \prime }=0$: источников нет, поток тепла через каждое сечение одинаковый. Краевые условия $T(0)=100$ и $T(1)=0$ дают $T(x)=100(1-x)$ — прямую от печи к холоду. В точке $x=0.25$ ровно $75$ градусов, в середине $50$. Профиль линеен — это не приближение, а точный ответ, и проверка подстановкой занимает одну строку.

Смени постановку — зададим не температуры, а потоки: $T^{\prime }(0)=-q_0$ на левом конце, правый утеплён, $T^{\prime }(1)=0$. Это условия Неймана, и для них тоже существует функция Грина, а стационарное решение определено с точностью до константы: поток задаёт наклон прямой, но не её уровень. Слово «утеплённый» здесь имеет точный математический смысл — нулевой поток тепла через границу.

Динамическая версия — как начальный профиль распадается во времени — требует краевой задачи для пространственной части решения; резонансные длины из середины урока всплывают там прямо в разложении по синусам. Связка «краевая задача по пространству плюс эволюция по времени» — это метод Фурье, он разобран в уроке про уравнение теплопроводности. А уравнения второго порядка в общей постановке — в уроке про ДУ высших порядков.

Следующий шаг — руки. Возьмите задачу из разборов по дифференциальным уравнениям или из задачника, доведите её до ответа и обязательно посчитайте определитель $\Delta$ — привычка проверять совместимость до решения экономит полконтрольной. Автоматизм ставится в тренажёре по дифференциальным уравнениям; заодно загляните в соседний урок про фазовые траектории — там краевые постановки встречаются с теорией устойчивости.