🌊 Диффуры

Метод вариации произвольной постоянной

Q: Когда вариация постоянной лучше метода неопределённых коэффициентов?

Когда правая часть «неудобная»: $\tan x$, $1/(1+x^2)$, произвольная непрерывная функция — подбор не сработает, а вариация требует лишь интегрируемости. Для второго порядка наоборот: если правая часть — полином, экспонента или синус, неопределённые коэффициенты дают ответ быстрее и без интегралов. Правило экономии сил: специальная правая часть — подбор, общая — вариация постоянной.

англ. Variation of constants

Приём для неоднородного линейного ДУ: берём общее решение однородного и считаем константу функцией — подстановка превращает уравнение в простое уравнение на неё.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) решает неоднородное линейное уравнение в два такта. Сначала отбрасываем правую часть и решаем однородное: для $y^{'} + P (x) y = 0$ получаем $y = C e^{- \int P d x}$ . Затем главная хитрость: константу $C$ объявляем функцией $C (x)$ и подставляем в исходное уравнение. Слагаемые с $C^{'} (x)$ и $C (x)$ частично сокращаются, и остаётся простое уравнение $C^{'} (x) = Q (x) e^{\int P d x}$ — один интеграл, и ответ готов. Линейные уравнения первого порядка и уравнение Бернулли — в уроке линейные ДУ и Бернулли.

Тот же приём работает и выше: для $y^{''} + p y^{'} + q y = f (x)$ берут фундаментальную систему однородного уравнения $y_{1}, y_{2}$ и ищут частное решение в виде $y = C_{1} (x) y_{1} + C_{2} (x) y_{2}$ , добавляя условие $C_{1}^{'} y_{1} + C_{2}^{'} y_{2} = 0$ , чтобы не плодить лишние производные. Система на $C_{1}^{'}, C_{2}^{'}$ получается линейной и решается через определитель Вронского. Метод универсальнее подбора по правой части: он не требует специального вида $f (x)$ . Контекст старших порядков — в уроке линейные неоднородные ДУ.

y^{'} + P (x) y = Q (x) \Rightarrow y = C (x) e^{- \int P d x}, C^{'} (x) = Q (x) e^{\int P d x}

вариация постоянной: C(x) подбирается так, чтобы однородное решение стало решением неоднородного уравнения

Частые вопросы

Зачем заменять константу функцией — это же не решение однородного?

В том и идея: мы сознательно выходим из семейства решений однородного уравнения, но сохраняем его форму. Подстановка показывает, что «лишние» слагаемые сокращаются благодаря линейности, и на $C (x)$ остаётся уравнение первого порядка — на порядок проще исходного. Наглядная аналогия: качели без толчка качаются свободно, а функция $C (x)$ описывает, как именно толкают, чтобы получить заданную амплитуду внешней силы.

Когда вариация постоянной лучше метода неопределённых коэффициентов?

Когда правая часть «неудобная»: $tan x$ , $1/ (1 + x^{2})$ , произвольная непрерывная функция — подбор не сработает, а вариация требует лишь интегрируемости. Для второго порядка наоборот: если правая часть — полином, экспонента или синус, неопределённые коэффициенты дают ответ быстрее и без интегралов. Правило экономии сил: специальная правая часть — подбор, общая — вариация постоянной.