Явления переноса: диффузия, теплопроводность и вязкость

Чай с молоком оставляют в покое — и через полчаса стакан окрашивается равномерно, без единой ложки. Металлическая ложка в том же чае обжигает пальцы через минуту, деревянная — никогда. Ни ложка, ни чай не находятся в равновесии: есть перепад концентрации, есть перепад температуры, и молекулярный хаос методично выравнивает оба. Эти процессы — явления переноса: диффузия переносит вещество, теплопроводность — энергию, вязкость — импульс. Курс завершается тем, что равновесная термодинамика уступает место движению к равновесию.

Что такое неравновесные процессы и потоки#

Всё, что мы считали раньше, — давление, температура, энтропия — относилось к равновесию: система была однородной, градиентов не было. Неравновесный процесс — это движение к равновесию из-за неоднородности. Локальный перепад концентрации рождает поток вещества, перепад температуры — поток тепла, перепад скорости слоёв — перенос импульса. Общий рисунок один: поток направлен против градиента и гасит его, поэтому системы с явлениями переноса всегда идут к однородности, а не от неё. Необратимость здесь не абстракция из второго начала — она видна в каждой разлитой луже краски.

Считать всё это по молекуле невозможно — их порядка $10^{23}$ и траектории хаотичны. Спасает статистика: нас интересуют средние потоки через единичную площадку, а они определяются всего тремя величинами — концентрацией, средней скоростью молекул и средней длиной свободного пробега. Уравнения получаются простыми и универсальными.

Какие законы описывают три явления переноса#

Диффузия — перенос массы. Если концентрация $n$ меняется вдоль оси $x$, через площадку течёт поток частиц, задаваемый законом Фика:

Знак минус — вещество течёт туда, где его меньше, против градиента — точнее, туда, где меньше химический потенциал. Теплопроводность — перенос энергии: закон Фурье $q=-\kappa dT/dx$, где $q$ — плотность теплового потока, $\kappa$ — коэффициент теплопроводности в Вт/(м·К). Почему железная ручка обжигает, а деревянная нет: у железа $\kappa$ в сотни раз больше, и тепло от чая долетает до пальца прежде, чем ручка успевает прогреться насквозь. Вязкость — перенос импульса между слоями, движущимися с разной скоростью; в терминах импульса и его сохранения вязкое трение — это передача импульса от быстрых слоёв медленным:

Градиенты здесь записаны одномерно для простоты; в общем случае вместо $dn/dx$ стоит градиент — векторная производная по всем направлениям, как в частных производных и градиенте. Но суть не в геометрии, а в структуре: поток пропорционален градиенту, а коэффициент пропорциональности — свойство среды. Осталось узнать, из чего этот коэффициент состоит.

Самый частый расчёт на практике — стационарная теплопроводность через слой: стена, окно, термоодежда. Когда потоки устаканиваются, температура внутри слоя падает линейно, и поток считается без интегралов: $q=\kappa \Delta T/d$, где $d$ — толщина слоя. Кирпичная стена толщиной полметра при перепаде 20 °C пропускает $0,7\cdot 20/0,5=28$ Вт/м² — для дома в 100 м² наружных стен это почти три киловатта непрерывного отопления. Строители поэтому считают сопротивление теплопередаче $R=d/\kappa$ для каждого слоя и складывают их: добавить 10 см минваты с $\kappa =0,04$ Вт/(м·К) — значит прибавить $R=2,5$ м²·К/Вт, и потери падают почти в пять раз. Физика одного слоя, умноженная инженерией.

Почему у всех трёх явлений один механизм#

Молекулярная картина одинакова до последнего винтика. Молекула летит хаотично со средней скоростью $\bar{v}$, пролетает между столкновениями в среднем $\bar{\lambda }$ и через воображаемую плоскость приносит «багаж» с того берега: молекулы, пришедшие из области с большей концентрацией, прилетают чаще обратных — течёт диффузионный поток; пришедшие из горячей зоны несут больше энергии — течёт тепло; из быстрого слоя приносят больший импульс — вязкость тормозит. Усреднение по трём осям даёт коэффициент $1/3$, и все три формулы вырастают из одного ядра $(1/3)\bar{v}\bar{\lambda }$, умноженного на переносимую величину:

• $D=\frac{1}{3}\bar{v}\bar{\lambda }$ — переносчик массы, множитель единичный
• $\kappa =\frac{1}{3}\bar{v}\bar{\lambda }{c}_{V}n$ — переносчик энергии, где $c_V$ — теплоёмкость одной молекулы
• $\eta =\frac{1}{3}\bar{v}\bar{\lambda }\rho$ — переносчик импульса, $\rho$ — плотность газа

Из этих формул выскакивают неочевидные следствия. Коэффициент диффузии растёт с температурой ($\bar{v}\sim \sqrt{T}$) и растёт с разрежением ($\bar{\lambda }\sim 1/n$) — в вакууме всё перемешивается быстрее. Вязкость и теплопроводность газа при постоянном давлении не зависят от плотности: в произведении $\bar{\lambda }n$ множители сокращаются — молекул вдвое больше, зато каждая несёт вдвое дальше. Этот парадокс подтвердил Максвелл экспериментально и он же объясняет, почему утечка тепла через тонкий слой воздуха почти не зависит от того, сколько там атмосфер. А вот $\eta$ растёт с температурой как $\sqrt{T}$ — газ при нагреве становится более «текуче-вязким», в точности наоборот по сравнению с жидкостями, где вязкость держится на межмолекулярных сцепках.

Как оценить длину свободного пробега молекулы#

Формула $\bar{\lambda }=1/(\sqrt{2}\pi d^{2}n)$ превращается в число за два действия. Концентрация воздуха при нормальных условиях берётся из $p=nkT$: $n=101325/(1,38\cdot 10^{-23}\cdot 273)\approx 2,7\cdot 10^{25}$ м⁻³. Эффективный диаметр молекул воздуха $d\approx 3\cdot 10^{-10}$ м. Подставляем: знаменатель $4,44\cdot (3\cdot 10^{-10}{)}^2\cdot 2,7\cdot 10^{25}\approx 1,08\cdot 10^7$ м⁻¹, откуда

Длина пробега обратно пропорциональна давлению — это ключ к вакуумной технике. При давлении 1 Па пробег вырастает в $101325$ раз и становится сантиметровым; в космическом вакууме пробеги измеряются километрами. Термос использует эффект наизнанку: между стенками откачан воздух, пробег молекул превышает зазор, столкновения исчезают, и теплопроводность падает в тысячи раз — тепло остаётся передаваться лишь излучением.

Физики различают режимы по отношению пробега к размеру сосуда. Если $\bar{\lambda }\ll L$ — обычный континуум, газ ведёт себя как сплошная среда и все три закона работают. Если пробег сравнялся с зазором — режим Кнудсена: молекулы летают от стенки до стенки, не встречая друг друга, и привычные формулы коэффициентов ломаются. Именно поэтому вакуумные насосы паспортуют не только давление, но и диаметры труб: узкая трубка в высоком вакууме перестаёт быть просто трубкой.

Как посчитать D и η для воздуха: числовой пример#

Соберём весь аппарат в одну оценку для воздуха при нормальных условиях: $p=101325$ Па, $T=273$ К, $M=0,029$ кг/моль. Средняя скорость берётся из распределения Максвелла: $\bar{v}=\sqrt{8RT/\pi M}$. Дальше — арифметика по шагам:

Чему учит это упражнение. Во-первых, молекулярная физика умеет предсказывать: из давления, температуры и диаметра молекулы получились три измеряемых коэффициента без единой подгонки. Во-вторых, точность честная: вязкость совпала до процентов, теплопроводность — в пределах множителя два, потому что простая модель игнорирует разброс скоростей и корреляции между энергией молекулы и её пробегом. Порядок величины, зависимость от $T$ и $p$ — всё на месте.

Отдельного упоминания заслуживает скорость диффузии — она медленнее интуиции. Молекула блуждает случайно, и её смещение растёт как корень из времени: $x\sim \sqrt{2Dt}$. Для воздуха с $D=1,4\cdot 10^{-5}$ м²/с за минуту характерное смещение — сантиметры, за час — около 30 см. Поэтому сахар растворяется, а не разлетается по стакану мгновенно, а запах жареного по квартире разносят не молекулы сами по себе, а конвекционные сквозняки. В неподвижной среде диффузия — процесс терпеливый.

Между тремя коэффициентами есть скрытая связь, и модель её честно предсказывает: в простейшей теории $\kappa /(\eta c_V)=1$ и $\rho D/\eta =1$ — отношения не зависят ни от газа, ни от условий. Эксперимент даёт числа между 1,3 и 2,5: расхождение — та же плата за грубость модели, что и в оценке $\kappa$. Безразмерные комбинации вроде числа Прандтля $Pr=\eta c_p/\kappa$ (для воздуха около 0,7) используются в теплотехнике как раз потому, что слабо меняются от газа к газу.

За горизонтом урока лежит термодинамика необратимых процессов: потоки и градиенты связывают линейно, а при нескольких неоднородностях сразу потоки мешаются — тепло тянет вещество (термодиффузия), градиент концентрации порождает разность температур. Соотношения взаимности Онзагера показывают, что коэффициенты таких перекрёстных эффектов попарно равны — глубокое следствие симметрии микромира. Это уже материал спецкурсов; базовый счёт завершён.

Курс термодинамики и молекулярной физики пройден от давления идеального газа до вязкости воздуха. Следующий шаг — вернуться к началу и перечитать основы молекулярно-кинетической теории с уже собранной картиной: вывод давления через удары молекул теперь сольётся с Максвеллом, пробегами и энтропией в одну систему. А чтобы знания не рассеялись сами (диффузия работает и на памяти), решите по паре задач на каждую тему.