🌡️ Термодинамика30 минСложность 4/5+65 XP

Неравновесная термодинамика: потоки, силы и производство энтропии

Q: Как считается производство энтропии?

Суммой произведений потоков на сопряжённые силы: $\sigma_S = \sum J_iX_i$. Для одной теплопроводности $\sigma_S = \kappa(\nabla T)^2/T^2$ — всегда неотрицательно, в равновесии ноль. Числовой пример: стержень из меди с сечением 1 см², длиной 10 см, концы при 400 и 300 К. Тепловой поток $q = 400 \cdot 100/0.1 = 4\cdot10^5$ Вт/м²; производство энтропии во всём стержне $q \cdot A \cdot (1/T_{хол} - 1/T_{гор}) = 4\cdot10^5 \cdot 10^{-4} \cdot (1/300 - 1/400) \approx 0.033$ Вт/К — вот скорость, с которой стержень «сжигает» качество энергии.

Как описать систему, в которой ещё не всё выровнялось: локальное равновесие, линейные законы переноса, экспоненциальная релаксация теплопроводности и идея соотношений взаимности Онзагера.

3 интерактива2 квизаУрок 9 из 9Обновлено 05.10.2026

Равновесная термодинамика — наука о конце истории: вот начальное и конечное состояние, вот КПД цикла и прирост энтропии. Но чашка кофе остывает за десять минут, а не мгновенно и не никогда; термопара даёт ток, а не просто «наблюдает»; печной дым поднимается волной. Вся практическая жизнь системы проходит до равновесия, и именно она обычно интересна: за какое время, через какой участок, с какими потерями. Ответы даёт неравновесная термодинамика — теория систем с градиентами, где температура, давление и состав меняются от точки к точке и медленно выравниваются. Начнём с того, как вообще можно говорить о «температуре точки», если система не в равновесии.

Локальное равновесие: температура в каждой точке#

Понятие температуры строго определено только для равновесия: система однородна, и термометр показывает одно число. В остывающем стержне температура разная вдоль длины — а всё-таки определена. Спасает разделение масштабов. Внутри малого кубика с ребром в тысячи длин свободного пробега молекулы успевают столкнуться десятки раз, распределение скоростей подтягивается к максвелловскому — и у кубика есть честная локальная температура $T (r)$ . При этом по стержню в целом она плавно плывёт: релаксация внутри кубика идёт за наносекунды, выравнивание вдоль стержня — за секунды. Быстрая хаотизация на микроуровне плюс медленный дрейф на макроуровне — рабочая схема, названная локальным равновесием.

На этой схеме стоит вся инженерная теплофизика: расчёт печей, теплообменников, микропроцессорных кулеров и климата планеты. У схемы есть границы: в разреженном газе пробег сравнивается с размером аппарата (режим Кнудсена — явления переноса теряют силу), а в быстро осциллирующих полях локальное распределение не успевает подтягиваться. Внутри границ всё описывается небольшой таблицей потоков и сил.

Потоки и силы: бухгалтерия выравнивания#

Неравновесную систему описывают плотности потоков $J_{i}$ — то, что течёт через единичную площадку в секунду: тепла, вещества, заряда. Двигателем каждого потока служит обобщённая сила $X_{i}$ — градиент, который его гонит: перепад температуры, концентрации, потенциала. Вблизи равновесия, где градиенты малы, ответ линейный — линейные законы переноса, знакомые по закону Фурье:

J_{q} = - κ \nabla T, J_{m} = - D \nabla n, J_{e} = - σ \nabla φ

Теплопроводность, диффузия, электропроводность: поток пропорционален силе

Знак минус — поток против градиента: тепло идёт от горячего к холодному и гасит перепад. Каждая пара «поток–сила» диссипирует энергию, и скорость этого процесса измеряется производством энтропии — суммой произведений потоков на сопряжённые силы:

σ_{S} = i \sum J_{i} X_{i} \geq 0

Производство энтропии в единице объёма; второе начало в виде неравенства

Для чистой теплопроводности подстановка Фурье даёт $σ_{S} = κ (\nabla T)^{2} / T^{2}$ : положительная величина, обращающаяся в нуль только при исчезновении градиента. Равновесие здесь — не постулат, а следствие: система сама выбирает распределение потоков, при котором производство энтропии при данных связях минимально, — принцип наименьшего диссипативного действия Пригожина. Второе начало перестаёт быть абстрактным неравенством и становится расчётной формулой: посчитайте потоки и силы — узнаете, с какой скоростью система «сжигает» доступную работу.

Потоки и стационар: производство энтропии вживую

2D-симулятор

Явная схема на сетке 63×39: каждая клетка обменивается теплом с четырьмя соседями. Левая стенка греет (u = 1), правая охлаждает (u = 0): процесс идёт к стационару. Ползунок $a^{2}$ — температуропроводность: чем больше, тем быстрее выравнивается.

Температуропроводность a²0.35Скорость анимацииx1.00

Время t

0.000

max u

0.020

Средняя u

0.020

Устойчивость схемы требует rx + ry ≤ 1/2 — шаг по времени выбирается автоматически, поэтому карта всегда стабильна. Заметьте: у «нагревателя» процесс сходится к стационарному распределению, которое больше не меняется.

Уравнение теплопроводности как релаксация#

Соединим два утверждения — закон Фурье и сохранение энергии — и получим динамику. Тепло, натекающее в объём минус вытекающее, меняет запас энергии $ρ c T$ ; деление на объём даёт уравнение теплопроводности:

\frac{\partial T}{\partial t} = a^{2} \nabla^{2} T, a^{2} = \frac{κ}{ρ c}

Коэффициент температуропроводности a² — скорость выравнивания температуры

Это уравнение — машина релаксации. Любой начальный перепад температуры раскладывается на моды-«горбы», и каждая экспоненциально затухает: грубый длинный горб живёт дольше, мелкий умирает первым. Для первой моды стержня длиной $L$ время релаксации

τ \approx \frac{L ^{2}}{π ^{2} a ^{2}}

Время выравнивания растёт квадратично с размером

Квадрат здесь главный практический вывод. Сталь: $κ = 50$ Вт/(м·К), $ρ = 7800$ кг/м³, $c = 460$ Дж/(кг·К), значит $a^{2} = 50/ (7800 \cdot 460) \approx 1.4 \cdot 1 0^{- 5}$ м²/с. Стальной блин толщиной 1 см выравнивается за $τ \approx 0.0 1^{2} / (9.87 \cdot 1.4 \cdot 1 0^{- 5}) \approx 0.7$ с — потому сковороду и стучат по столу, не боясь перепадов. Десять сантиметров стали — уже $100 \cdot 0.7 = 70$ с. Вдвое толще — вчетверо дольше: интуиция «линейно» врёт в квадрат. На квадратичности держится и термос, и расплав в литейной форме, и температура внутри крупной планеты: Земле после образования требуется миллиарды лет, чтобы потепло пройти наружу.

Задача: за сколько остынет до половины стальная пластина

Открывай шаги

Сначала попробуйте сделать шаг сами, потом открывайте и сверяйтесь. За полный проход начисляется XP.

Релаксация по модам: кто затухает первым

Теплопроводность

Начальный профиль в стержне рассыпается на моды, каждая гаснет со своей экспонентой: острый пик исчезает мгновенно, широкая синусоида живёт в разы дольше — время релаксации растёт как квадрат длины моды. Наблюдайте, как остаётся только самая грубая мода: это и есть ближайший к равновесию «долгожитель».

Концы закреплены (Дирихле): u = 0 на торцах · схема FTCS, r = a²·Δt/Δx² = 0,45 ≤ 0,45

Время t

max u

min u

Шаг схемы

Энергия Σuᵢ·Δx

0,637

Энергия падает — закреплённые торцы с нулевой температурой уносят тепло из стержня

Начальный профиль

Коэффициент a²0,5Скорость анимации×1

Включите «Утеплённые концы» — энергия перестанет падать: без утечки тепла через торцы запас тепла сохраняется, а профиль выравнивается к средней температуре. Поднимите ползунок a² — остывание ускорится, но шаг Δt каждый раз подрезается так, чтобы число r не превысило 0,45: схема устойчива на любых настройках.

Принцип Онзагера: потоки мешают друг другу по правилам#

До сих пор каждый поток отвечал своей силе. В реальных средах они подмешиваются: перепад температуры тянет вещество (термодиффузия, эффект Соре), перепад концентрации порождает разность температур (эффект Дюфура), градиент температуры в проводнике — электрический ток (эффект Зеебека, вся термопарная техника), а ток — перенос тепла (эффект Пельтье, так работают термоэлектрические холодильники). Общий язык — матрица линейных законов: $J_{i} = \sum_{j} L_{ij} X_{j}$ , где диагональные коэффициенты — привычные $κ, D, σ$ , а вне диагонали — перекрёстные эффекты.

В 1931 году Ларс Онзагер доказал из микроскопической обратимости: если силы выбраны с правильной чётностью при обращении времени, то $L_{ij} = L_{j i}$ — коэффициент прямого эффекта равен коэффициенту обратного. Термопара и термоэлектрический нагреватель используют один и тот же коэффициент; тепло, тащимое концентрационным градиентом, связано с термодиффузией тем же числом. Соотношения взаимности Онзагера — из тех редких теорем, что превращают таблицу эффектов в систему: измеряешь один эффект — получаешь второй бесплатно, а термодинамика необратимых процессов перестаёт быть списком и становится сетью. Нобелевская премия 1968 года — за эту сеть.

Локальное равновесие: локальные $T$ , $p$ , $n$ определены, микроуровень успевает выравниваться
Линейные законы: $J_{i} = \sum_{j} L_{ij} X_{j}$ ; диагональ — Фурье, Фик, Ом; вне диагонали — перекрёстные эффекты
Производство энтропии $σ_{S} = \sum J_{i} X_{i} \geq 0$ — второе начало как расчётная величина
Теплопроводность — релаксация: $\partial T / \partial t = a^{2} \nabla^{2} T$ , $τ \sim L^{2} / a^{2}$ , квадрат размера
Соотношения Онзагера $L_{ij} = L_{j i}$ : пара «прямой–обратный» эффект считается одним коэффициентом

Линейная теория честно признаёт свою территорию: вблизи равновесия. Дальше начинается нелинейная драма, за которую Пригожин получил премию позже: в системах, сильно отклонённых от равновесия, производство энтропии само порождает структуру — конвекционные ячейки Бенара в кастрюле с подогревом снизу, вихри за препятствием, химические часы Белоусова–Жаботинского. Необратимость, которая в равновесной картине только сглаживает различия, при сильном накале способна рисовать узоры. Это уже за рамками курса — но именно к этой границе курс термодинамики и подводит.

Куда идти дальше. Материальную базу потоков — пробеги, скорости молекул, три закона переноса — дают явления переноса; энтропийную подоплёку — второе начало и энтропия. Математический скелет уравнения теплопроводности, разложение на моды и граничные условия разобраны в уроке об уравнении теплопроводности, а векторная запись градиентов — в материале про частные производные и градиент. Свойства равновесных состояний, из которых вырастает вся линейная теория, собирают основы молекулярно-кинетической теории и первое начало термодинамики.

Проверь себя+10 XP

Медный стержень выравнивает температуру за 2 с. Во сколько раз дольше будет выравниваться стержень вдвое большей длины из того же материала?

Проверь себя+10 XP

Что утверждает соотношение взаимности Онзагера $L_{ij} = L_{j i}$ ?

Частые вопросы

Что такое неравновесная термодинамика простыми словами?

Физика систем, где температура, давление и состав меняются от точки к точке и медленно выравниваются: остывающая деталь, работающий теплообменник, атмосфера. Она отвечает не только «что будет в конце», но и «как быстро, через какие потоки и с какими потерями». Рабочий язык — потоки против градиентов (сил) и производство энтропии как мера необратимости. Близкое к равновесию описывается линейными законами, сильные отклонения порождают структуры — конвективные ячейки и химические колебания.

Как считается производство энтропии?

Суммой произведений потоков на сопряжённые силы: $σ_{S} = \sum J_{i} X_{i}$ . Для одной теплопроводности $σ_{S} = κ (\nabla T)^{2} / T^{2}$ — всегда неотрицательно, в равновесии ноль. Числовой пример: стержень из меди с сечением 1 см², длиной 10 см, концы при 400 и 300 К. Тепловой поток $q = 400 \cdot 100/0.1 = 4 \cdot 1 0^{5}$ Вт/м²; производство энтропии во всём стержне $q \cdot A \cdot (1/ T_{хол} - 1/ T_{гор}) = 4 \cdot 1 0^{5} \cdot 1 0^{- 4} \cdot (1/300 - 1/400) \approx 0.033$ Вт/К — вот скорость, с которой стержень «сжигает» качество энергии.

Почему время выравнивания температуры растёт как квадрат размера?

Поток тепла ограничен градиентом: при удвоении размера расстояние для переноса удваивается, а градиент при той же разности температур падает вдвое — вместе это даёт четырёхкратное замедление. Формально: каждая пространственная мода затухает как $e^{- a^{2} k^{2} t}$ , волновое число обратно пропорционально длине, поэтому $τ \sim L^{2} / a^{2}$ . Следствия видны повсюду: вдвое более толстая стейк жарится вчетверо дольше по температуре середины, а ядро Земли ещё не остыло за миллиарды лет именно из-за квадрата радиуса.

Что даёт принцип Онзагера на практике?

Экономию измерений и проверку теорий: все перекрёстные эффекты делятся на пары «прямой–обратный», и в каждой паре коэффициенты равны. Термопара (Зеебек) и термоэлектрический охладитель (Пельтье) описываются одним коэффициентом — $Π = S T$ , где $S$ — коэффициент Зеебека; для пары хромель–алюмель $S \approx 41$ мкВ/К, значит на переходе при 300 К $Π = S T \approx 12$ мВ, и ток в 1 А тащит с собой $Π I \approx 12$ мВт Пельтье-тепла. Так же связаны термодиффузия и эффект Дюфура. Это делает термодинамику необратимых процессов сетью с проверяемой симметрией, а не перечнем эффектов.

Готовитесь к контрольной?

Чеклист тем по «Термодинамика»: что вы уже умеете, что повторить и в каком порядке.

Открыть чеклист предмета →

Проверьте себя в бою

Босс-экзамен по «Термодинамика»: квизы всех уроков плюс бесконечный поток сгенерированных задач. Каждая попытка — новый расклад.

Начать босс-экзамен →