Циклы тепловых машин и КПД: цикл Карно, ДВС Отто и Дизель

Автомобиль на сто километров сжигает примерно семь литров бензина — около 230 мегаджоулей. В работу на колёсах уходит четверть, от силы треть; остальное вылетает выхлопной трубой и уносится радиатором. Обидно? Термодинамике ваша обида знакома двести лет, и она отвечает сухо: брать всё нельзя, а максимум — известен формулой. Разговор о том, что такое тепловая машина, почему её КПД всегда меньше единицы и какая температура нужна для идеала, — это разговор о циклах.

Здесь работает одна историческая шутка: паровая машина Уатта жила в XIX веке, а её научный паспорт написал Карно в 1824-м — задолго до того, как инженеры научились читать его формулы. КПД реальных машин рос именно потому, что постепенно подтягивался к теоретическому потолку: выше температуры пара, ниже температуры конденсатора, больше площадь цикла на диаграмме.

Почему рабочее тело обязано вернуться в начало?#

Двигатель — не одиночный процесс, а цикл: газ расширился, совершил работу — и его надо вернуть обратно, иначе поршень вылетит вместе с обещаниями. За полный цикл все параметры возвращаются к начальным, значит внутренняя энергия изменилась на ноль: $\Delta U=0$. Первое начало мгновенно даёт баланс цикла:

Геометрия красивая: работа за цикл — площадь внутри замкнутой кривой на $pV$-диаграмме. По верхнему участку газ работает больше, чем возвращает по нижнему; разность площадей и есть полезный выход. Но получить $Q_1$ — мало: часть тепла $Q_2$ придётся отдать, и вопрос только в том, какая доля отданного минимально необходима.

Бонус, который экономит нервы на экзамене: КПД не зависит от того, как быстро машина крутит циклы. Скорость работы задаёт частота повторений, КПД — форма цикла и температуры. Поэтому их проектируют по отдельности: форму процесса выбирает термодинамик, темп — конструктор подшипников.

Как устроена тепловая машина?#

В любой тепловой машине — от паровоза до атомной станции — три действующих лица:

• нагреватель при температуре $T_1$ отдаёт рабочему телу теплоту $Q_1$;
• рабочее тело (газ, пар, смесь в цилиндре) ходит по циклу и превращает часть $Q_1$ в работу $A$;
• холодильник при температуре $T_2$ забирает теплоту $Q_2$ — без него цикл не замкнётся.

КПД — в словаре он назван термическим КПД — доля полученного тепла, обращённая в работу: $\eta =A/Q_1=1-Q_2/Q_1$. Формула честная и беспощадная: пока $Q_2>0$, КПД меньше единицы. А можно ли отдавать совсем ничего? Полвека физики искали ответ, пока Сади Карно не доказал: нет — и посчитал точный минимум отданного.

Что такое цикл Карно и почему он недостижимый эталон?#

Карно собрал цикл из четырёх обратимых участков (в словаре это цикл Карно): изотерма при $T_1$ (контакт с нагревателем, получено $Q_1$), адиабата (отсоединили — газ сам остывает от $T_1$ до $T_2$), изотерма при $T_2$ (контакт с холодильником, отдано $Q_2$), адиабата (сжатие возвращает исходную точку). Обратимость — главная идея: теплообмен идёт при равных температурах, никакой разницы давлений, никаких потерь на трение. Идеализация из идеализаций.

Подсчёт можно показать в одну строку (обзорно). На изотермах $Q_1=\nu R{T}_1\ln (V_2/V_1)$ и $Q_2=\nu R{T}_2\ln (V_3/V_4)$. Уравнения адиабат $T{V}^{\gamma -1}=\text{const}$ связывают объёмы так, что отношения $V_2/V_1$ и $V_3/V_4$ равны — логарифмы сокращаются, и остаётся $Q_2/Q_1=T_2/T_1$. Отсюда:

Числовой пример. Машина Карно: $T_1=500$ К, $T_2=300$ К. $\eta =1-300/500=0,4$ — сорок процентов, потолок. Получили от нагревателя $Q_1=1000$ Дж — значит, работа $A=400$ Дж, а холодильнику уйдут $Q_2=600$ Дж. Хотите 60%? Тогда $T_1=750$ К при том же холодильнике — но материалы турбины и лопаток скажут своё «нет»: жаростойкость, а не математика, ограничивает реальные станции.

За формулой $\eta =(T_1-T_2)/T_1$ прячется важная мысль: машина Карно ест не тепло, а перепад температур. Река из равного уровня в равный не вращает колёса, каким бы большим ни был расход воды. Поэтому электрическая станция на плавящемся льду ($T_1=273$ К) при холодильнике в тех же 273 К имела бы нулевой КПД, а станция с паром в 800 К и речной водой в 300 К — солидные проценты. Энергия без перепада — мёртвый груз.

Как посчитать произвольный цикл по участкам?#

Карно — эталон, но задачи чаще про самодельные циклы из отрезков. Пройдём прямоугольный цикл на $pV$-диаграмме с одноатомным газом — типовой зачётный пример. Точки: 1 ($p=2\cdot 10^5$ Па, $V=1$ м³) → 2 (то же давление, $V=3$ м³) → 3 ($p=1\cdot 10^5$ Па, $V=3$ м³) → 4 ($p=1\cdot 10^5$ Па, $V=1$ м³) → в начало.

1. 1
   Участок 1→2 — изобара: $A=p\Delta V=2,0\cdot 10^5\cdot 2=400$ кДж; тепло $Q=\frac{5}{2}p\Delta V=1000$ кДж — получено от нагревателя.
2. 2
   Участок 2→3 — изохора, работа ноль; газ остывает, $Q=\frac{3}{2}V\Delta p=-450$ кДж — отдано холодильнику.
3. 3
   Участок 3→4 — изобара со сжатием: $A=-200$ кДж, $Q=-500$ кДж — снова холодильнику.
4. 4
   Участок 4→1 — изохора с нагревом: $Q=+150$ кДж от нагревателя.
5. 5
   Баланс: $Q_1=1000+150=1150$ кДж, $Q_2=450+500=950$ кДж, работа $A=1150-950=200$ кДж — сходится и с разностью площадей $400-200=200$ кДж.
6. 6
   КПД: $\eta =200/1150\approx 0,17$ — семнадцать процентов. Прямоугольник ниже и правее цикла Карно между крайними температурами — отсюда и скромный итог.

Насколько хороши реальные циклы: Отто, Дизель, Ренкин?#

В бензиновом двигателе смесь сжимается и сгорает за миллисекунды — при почти неизменном объёме; изотермических участков с теплообменом нет вовсе. Идеализация этого безобразия — цикл Отто: две адиабаты (сжатие и рабочий ход) плюс два изохорных участка (сгорание и выхлоп). Его КПД зависит только от степени сжатия $\epsilon =V_1/V_2$ и показателя адиабаты $\gamma$:

Бензин ставит предел: при $\epsilon$ больше 10–11 смесь детонирует раньше свечи. Цикл Дизеля сжимает один воздух — детонировать нечему, поэтому $\epsilon$ доходит до 18–22; топливо впрыскивается в раскалённый воздух и сгорает при почти постоянном давлении. КПД выше бензинового, цена — тяжесть и шум. Цикл Ренкина — жизнь электростанций: вода испаряется в котле, пар перегревается и крутит турбину, конденсируется в холодильнике-башне; перегрев пара до сотен градусов — та самая погоня за большим $T_1$.

Инженеры выжимают лишние проценты кому как приходится: у бензиновых моторов — цикл Аткинсона с поздним закрытием впускного клапана, у дизелей — турбонаддув, который возвращает выхлопу вторую жизнь, у паровых станций — теплофикация: отработанное тепло не в градирню, а в батареи городских квартир. Каждая из этих хитростей не отменяет потолок Карно — она уменьшает разрыв до него.

Что умеет холодильник, кроме охлаждать?#

Прогоните цикл задом наперёд — и за счёт работы $A$ тепло потечёт от холодного к горячему: получится холодильная машина (из камеры снимается $Q_2$, наружу выбрасывается $Q_1=Q_2+A$) или тепловой насос (греем дом, высасывая тепло с улицы). Второй закон здесь не нарушен: за перекачку платим работой, а не волшебством. Эффективность меряют не КПД, а коэффициентом $\chi =Q_2/A$ — и он может быть больше единицы, потому что считаем не созданное тепло, а перекачанное. Для цикла Карно $\chi =T_2/(T_1-T_2)$: при 300 К и 500 К это полтора джоуля тепла на джоуль работы; у бытового теплового насоса — три и больше.

Практическая мораль для квартирного счётчика: тепловой насос не «делает» тепло из электричества, а перевозит его с улицы, доплачивая работой компрессора. Один киловатт-час электричества приносит в дом два-четыре киловатт-часа тепла — обычный обогреватель на том же киловатт-часе даст ровно один. Разница — это тот самый коэффициент $\chi$, только в бытовой упаковке.

Как решать задачи на КПД циклов?#

Схема решения почти всегда одна и та же — держите её под рукой.

1. 1
   Нарисуйте цикл на $pV$-диаграмме и подпишите все точки с давлением, объёмом и температурой — половина ошибок исчезает ещё на чертеже.
2. 2
   Разбейте цикл на участки, для каждого определите тип процесса и посчитайте $Q$ по формуле: изохора — $\frac{i}{2}\nu R\Delta T$, изобара — $\frac{i+2}{2}\nu R\Delta T$.
3. 3
   Соберите $Q_1$ — сумму участков с положительным $Q$, и $Q_2$ — модуль суммы с отрицательным.
4. 4
   Работа за цикл: $A=Q_1-Q_2$ — либо как площадь фигуры; используйте как перекрёстную проверку.
5. 5
   Ответ: $\eta =A/Q_1$. Для цикла Карно сразу $\eta =1-T_2/T_1$ — и помните, что это потолок, а не норма.

Следующий шаг по курсу — второе начало и энтропия: строгая теория того, почему $Q_2$ отдавать холодильнику не льстит, а неизбежно, и почему КПД Карно — потолок. Площади под кривыми повторите в приложениях определённого интеграла, энергетический баланс — в первом начале термодинамики и законе сохранения энергии. Ваш ход: посчитайте КПД Карно для электростанции с $T_1=810$ К (перегретый пар) и $T_2=300$ К — и сравните с реальными 35–40%: разрыв покажет цену необратимости.