Элементы специальной теории относительности: постулаты, время и E=mc²

Вагон метро несётся со скоростью 60 км/ч, а вы идёте по нему в ту же сторону со скоростью 5 км/ч. Человек на платформе скажет: вы двигаетесь со скоростью 65 км/ч — скорости просто складываются, и с детства это кажется законом природы. Но у света арифметика отказывается работать. Посветите фонариком из вагона: свет не поедет со скоростью «$c$ плюс 60 км/ч». Для любого наблюдателя во Вселенной — в вагоне, на платформе, на встречном самолёте — он летит с одной и той же скоростью $c\approx 3\cdot 10^8$ м/с. Из этого упрямого факта и выросла специальная теория относительности (СТО) — физика скоростей, близких к скорости света.

Два постулата Эйнштейна#

В 1905 году Эйнштейн свёл всю теорию к двум утверждениям. Первое — принцип относительности: все законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта (ИСО). Инерциальная — та, где тело без воздействия движется равномерно и прямолинейно; вагон с постоянной скоростью — ИСО, тормозящий — уже нет. Никакой опыт внутри ИСО не отличит её от другой ИСО: пассажир гладко летящего лайнера не может определить скорость самолёта, не выглянув в окно.

Второй постулат лаконичнее и страшнее: скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО и не зависит ни от движения источника, ни от движения приёмника; $c=299792458$ м/с, в задачах округляют до $3\cdot 10^8$ м/с. Отсюда немедленно выпадают два следствия, ломающих интуицию. Раз скорость одна для всех, значит, и время, и длины у разных наблюдателей — свои.

Намёком на второй постулат служил опыт Майкельсона и Морли (1887): они искали разницу скорости света по движению Земли и против него — и не нашли ни метра в секунду. Эфир не понадобился: электромагнитные волны сами задают собственную скорость. А следом ломается привычка считать одновременность абсолютной. Две вспышки, сошедшие «одновременно» в центре вагона, для пассажира дойдут до передней и задней стенок враз, а для человека на платформе задняя стенка едет навстречу свету — и та вспышка придёт первой. Кто прав? Оба: у каждого своя честная система отсчёта.

Замедление времени#

Соберём часы из двух зеркал: вспышка света бегает между ними на расстоянии $h$ — один «тик». Пусть такие часы едут мимо нас на платформе со скоростью $v$. Для нас свет между зеркалами идёт по диагонали — путь длиннее. А скорость та же самая: второй постулат запрещает ускорить свет. Длинный путь при той же скорости — длинный тик. Короткий расчёт по теореме Пифагора даёт:

Здесь $\Delta t_0$ — собственное время: интервал по часам, которые едут вместе с событием (для пассажира обе вспышки происходят в одной точке). $\Delta t$ — интервал по часам лаборатории. Множитель $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ — лоренц-фактор; он всегда не меньше единицы и резко растёт на подлёте к $c$. При $v=0.6c$ выходит $\gamma =1.25$: пока на корабле прошёл час, на Земле минуло 75 минут. При $v=0.995c$ отставание уже десятикратное.

Замедление времени — не фокус чертежа, а рабочий механизм природы. Мюон, тяжёлый родственник электрона, живёт в среднем $2.2$ мкс по собственным часам и рождается космическими лучами на высоте около 10 км. Даже на скорости света за 2.2 мкс он прошёл бы 660 метров — и до Земли не долетал бы почти никто. Но летающий мюон при $v=0.998c$ имеет $\gamma \approx 15.8$: в земной системе его жизнь тянется около 35 мкс, и он успевает пролететь примерно $0.998\cdot 3\cdot 10^8\cdot 35\cdot 10^{-6}\approx 10.5$ км. Счётчики мюонов щёлкают даже в подвалах физфакультетов — без поправки на время этот прибор молчал бы.

Сокращение длины#

Вторая цена единой скорости света: движущиеся тела выглядят короче. Длина предмета вдоль направления движения в лабораторной системе

Здесь $l_0$ — собственная длина, измеренная линейкой, покоящейся относительно предмета. Ракета длиной 100 м при $v=0.6c$ покажется с Земли стократной лишь на $\sqrt{1-0.6^2}=\sqrt{0.64}=0.8$ — то есть 80 метров; пифагорова тройка 3-4-5 даёт ответ без калькулятора. Поперёк движения размеры не трогаются: ширина той же ракеты остаётся прежней. Сжимается только продольная ось.

Кто же «на самом деле» короче — ракета или линейка землянина? Вопрос пустой. Каждая система честно видит чужие линейки сжатыми, и противоречия тут нет: сравнение длин требует одновременного замера концов, а одновременность, как мы уже выяснили, у наблюдателей разная. Расставьте события по системам отсчёта — и парадокс рассыпается. Забавно, что пассажиру ракеты наоборот кажется сжатой Земля: симметрия полная.

Импульс, энергия и E = mc²#

В релятивистской динамике импульс перестаёт быть пропорционален скорости:

При $v=0.6c$ импульс равен $1.25\cdot 0.6m_{0}c=0.75m_{0}c$ — на четверть больше классического $0.6m_{0}c$. Чем ближе к $c$, тем упорнее рост: разогнать тело до скорости света помешала бы бесконечная энергия. Вот почему $c$ — предел скорости, а не просто «очень быстро».

Второй сюрприз — энергия покоя. Масса сама по себе есть энергия:

Полная энергия $E=\gamma m_0{c}^2$ складывается из энергии покоя $E_0=m_0{c}^2$ и кинетической $T=(\gamma -1)m_0{c}^2$. Масштаб пугает: один грамм вещества, полностью превращённый в энергию, даёт $0.001\cdot 9\cdot 10^{16}=9\cdot 10^{13}$ Дж — столько вырабатывает электростанция мощностью 1 ГВт примерно за сутки. Ядерный реактор живёт на крошечной утечке массы топлива, а аннигиляция электрона с позитроном отдаёт ровно два фотона по 511 кэВ — число, вычисленное прямо из $m_0{c}^2$ электрона.

Для электрона $m_0{c}^2=0.511$ МэВ; при $v=0.6c$ его кинетическая энергия $T=0.25\cdot 0.511\approx 0.128$ МэВ — конвертация прямая и ежедневно проверяемая на ускорителях. Полезно помнить инвариант $E^2-(pc{)}^2=(m_0{c}^2{)}^2$: у фотона масса ноль, зато $E=pc$ — он летит со скоростью света, хотя «разгоняться» ему не из чего.

Сложение скоростей: быстрее света не выйдет#

Осталось восстановить арифметику, с которой начали. Скорости складываются не по-школьному:

В знаменателе прячется страховка. Две ракеты летят навстречу друг другу, каждая на $0.5c$ относительно Земли. Скорость сближения в системе одной из ракет $u=\frac{0.5c+0.5c}{1+0.25}=0.8c$ — не $c$ и тем более не $1.25c$. При любых $u^{\prime }<c$ и $v<c$ результат остаётся меньше $c$, а свет ($u^{\prime }=c$) из любой ИСО выглядит как ровно $c$: подставьте и проверьте — единица в знаменателе сокращается с единицей в числителе.

• Два постулата: законы физики одинаковы во всех ИСО, а скорость света одна и та же для любого наблюдателя
• Замедление времени: $\Delta t=\gamma \Delta t_0$; при $v=0.6c$ фактор $1.25$, при $0.995c$ — десять
• Сокращение длины: $l=l_0\sqrt{1-v^2/c^2}$, только вдоль движения; 100 м при $0.6c$ — 80 м
• Импульс $p=\gamma m_{0}v$, полная энергия $E=\gamma m_0{c}^2$, энергия покоя $E_0=m_0{c}^2$; скорость $c$ недостижима для тела с массой
• Сложение скоростей $u=\frac{u^{\prime }+v}{1+u^{\prime }v/c^2}$ никогда не даёт ответ больше $c$

Формулы «медленной» механики собраны в шпаргалке формул по физике — сверяйтесь, чтобы почувствовать, где классика ещё верна, а где СТО обязательна. Свет как волна с той же скоростью $c$ разобран в уроке про электромагнитные волны; там же — откуда эта скорость берётся в самих уравнениях поля. Технический фундамент релятивистской динамики — дифференциальные уравнения движения: именно их решают для частиц в ускорителях. А чтобы прочувствовать масштаб скорости, сравните свет со звуком и механическими волнами: самый быстрый самолёт ползёт рядом с ними обеими.