Электромагнитные волны: уравнения Максвелла, шкала и скорость света

Молния ударяет в километре от вас — и сначала вспышка, потом гром. Звук запаздывает: ему нужна среда, воздух, и он ползёт свои 340 м/с. Свет приходит практически мгновенно — и вот что интересно: среда ему не нужна вовсе. Между Солнцем и Землёй восемь минут вакуума, и свет летит через него со скоростью $c=3\cdot 10^8$ м/с, не опираясь ни на что. Как «ничто» может передавать волны, и почему эта скорость ровно такая — ответ придумал Максвелл, а подтвердил Герц.

Четыре уравнения Максвелла#

К 1860-м годам электричество и магнетизм уже были изучены по отдельности: закон Кулона, закон Фарадея, правило Ампера. Максвелл свёл всё к системе из четырёх уравнений — и, глядя на них, заметил симметрию, которую никто не видел раньше. Вот они в интегральной форме, по одной идее на уравнение:

• $\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q}{{\epsilon }_0}$ — электрические заряды создают поле $\vec{E}$; поток через замкнутую поверхность задаётся зарядом внутри (теорема Гаусса)
• $\oint \vec{B}\cdot d\vec{A}=0$ — магнитных зарядов нет: линии $\vec{B}$ всегда замкнуты, севера без юга не бывает
• $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d{\Phi }_B}{dt}$ — переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое (закон электромагнитной индукции Фарадея)
• $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_{0}I+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{d{\Phi }_E}{dt}$ — магнитное поле создаёт ток и переменное электрическое поле

Последнее слагаемое последнего уравнения Максвелл добавил сам — из соображений симметрии. Он назвал его током смещения: если переменное магнитное поле порождает электрическое (Фарадей), то и наоборот — переменное электрическое поле обязано порождать магнитное. Иначе зарядить конденсатор было бы нельзя: между обкладками тока нет, а магнитное поле вокруг провода почему-то есть. С током смещения противоречие исчезло.

Откуда берётся скорость света#

Максвелл выписал систему в дифференциальной форме и получил волновое уравнение — то же самое, что описывает струну и звук, только для полей. А у всякого волнового уравнения есть скорость распространения. Подставь в неё электрическую и магнитную постоянные вакуума — и получится

Считаем: ${\epsilon }_0=8.85\cdot 10^{-12}$ Ф/м, ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м. Произведение даёт $1.11\cdot 10^{-17}$, корень из него — $3.34\cdot 10^{-9}$, и после деления выходит $2.998\cdot 10^8$ м/с. До третьей значащей цифры — скорость света, которую астрономы измерили задолго до Максвелла совсем другими методами. Совпадение случайным быть не может: свет и есть электромагнитная волна.

Как выглядит сама волна? Плоская электромагнитная волна, бегущая вдоль оси $x$:

Обратите внимание на геометрию: поле $\vec{E}$ колеблется вдоль $y$, поле $\vec{B}$ — вдоль $z$, бежит волна вдоль $x$. Три направления взаимно перпендикулярны — электромагнитная волна поперечна. Поля качаются синхронно: где максимум $\vec{E}$, там и максимум $\vec{B}$, а их амплитуды связаны жёсткой пропорцией $E_0=c{B}_0$. В комплексной записи гармоники вида $e^{i(\omega t-kx)}$ сжимаются до одной строки — для этого в курсе и вводят комплексные числа.

Шкала электромагнитных волн#

Все волны от радиостанции до рентгеновского кабинета — одна природа, различие только в частоте и длине. Связь между ними та же, что у механических волн: $c=\lambda \nu$, где $\lambda$ — длина волны, $\nu$ — частота. FM-радио вещает на 100 МГц — значит, длина волны $\lambda =\frac{3\cdot 10^8}{10^8}=3$ м. Wi-Fi работает на 2.4 ГГц — уже 12.5 см. Чем выше частота, тем короче волна и тем больше энергии несёт каждый фотон.

Человеческий глаз занимает на этой шкале до смешного узкую полоску — меньше октавы. Видимый свет — случайная привилегия атмосферы: она прозрачна именно для этого окна, и зрение выросло под него. Всё остальное — от Wi-Fi до гамма-квантов — мы наблюдаем только приборами.

Проверил всё это Герц в 1887 году: искровой передатчик рождал волны метровой длины, а проволочное кольцо с искровым зазором их ловило. Волны отражались, преломлялись, интерферировали — вели себя в точности как свет, только глазом не виделись. Первые радиопередачи прижились в технике за считаные годы: поперечная волна, летящая без проводов, оказалась идеальным гонцом.

Интерференция и излучение антенн#

Антенна — это раскрывшийся колебательный контур: заряды бегают по проводу туда-сюда с частотой контура, и переменное электрическое поле вместе с рождаемым им магнитным уходит в пространство. Две антенны, питаемые одним передатчиком, — уже готовая интерференционная решётка: в одних направлениях волны усиливают друг друга, в других гасят. На этом держатся фазированные радары и сотовые станции.

Каждый фотон уносит энергию $E=h\nu$, а волна в целом — поток энергии пропорциональный квадрату амплитуды электрического поля. Именно квадрат отвечает за интерференцию: амплитуды складываются с учётом фазы, а уже их квадраты дают яркость. Сама генерация волны — прямое продолжение электромагнитной индукции: Фарадей показал, как переменное магнитное поле будит ток в катушке, а передатчик делает то же самое в обратную сторону, превращая ток в бегущее поле.

• Четыре уравнения Максвелла связывают поля и заряды; ток смещения замыкает симметрию «переменное $E$ — переменное $B$»
• Скорость волны в вакууме $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}=2.998\cdot 10^8$ м/с — совпадает со скоростью света
• Волна поперечна: $\vec{E}\perp \vec{B}\perp \vec{v}$, амплитуды связаны как $E_0=c{B}_0$
• Частота и длина волны связаны через $c=\lambda \nu$: 100 МГц — 3 метра, 2.4 ГГц — 12.5 сантиметра
• Шкала от радиоволн до гамма-лучей — одна природа, различие в частоте; граница между диапазонами условна

Формулы колебаний и волн из механики собраны в шпаргалке формул по физике — связь $c=\lambda \nu$ живёт там же, где период и частота колебаний. Волновое уравнение, из которого Максвелл вытащил скорость света, — типичный представитель дифференциальных уравнений с частными производными, а сами уравнения поля выводятся из законов индукции, разобранных в уроке про электромагнитную индукцию.