Переменный ток: синусоида, импеданс и резонанс

Вольтметр в розетке честно показывает 220 В. Осциллограф на той же розетке — 311 В. Кто из них врёт? Никто: один измеряет действующее значение, второй — амплитуду. Ток в розетке не течёт, а дрожит туда-сюда пятьдесят раз в секунду, и именно это дрожание даёт свет в лампах и звук в колонках. Финальный урок курса — про математику колеблющегося электричества: синусоиды, сдвиги фаз и резонанс.

Синусоида: математика переменного тока#

Напряжение в сети меняется по закону синуса:

$U_0$ — амплитуда (максимальное отклонение), $\nu$ — частота в герцах, $\omega$ — циклическая частота в рад/с, $T=1/\nu$ — период. Российская сеть: $\nu =50$ Гц, период $T=0,02$ с, $\omega =2\pi \cdot 50\approx 314$ рад/с. Откуда синус? Из прошлого урока: рамка вращается в магнитном поле, поток через неё меняется как $\cos \alpha$, а ЭДС по закону Фарадея — как производная этого косинуса. Синус — не прихоть, а прямое следствие вращения генератора.

В сложных сигналах (пила, меандр, музыка) приходится раскладывать форму волны в сумму синусов — это ряды Фурье, но базовый анализ цепей достаточно вести на чистой синусоиде: любая линейная цепь на синус отвечает синусом той же частоты, меняются лишь амплитуда и сдвиг.

Действующее значение: 220 из 311#

Что значит «напряжение сети 220 В», если напряжение всё время разное? Физика отвечает теплом: действующее значение — это напряжение постоянного тока, который в том же резисторе выделяет то же тепло. Считать проще всего по средней мощности за период: она пропорциональна среднему квадрату $⟨u^2⟩=U_0^2/2$, откуда:

Проверьте на розетке: $311/\sqrt{2}=220$ В. Всё сходится. Направление действительно меняется 100 раз в секунду, но тепло выделяется в обе стороны — квадрат не различает знак. Поэтому надпись «220 В, 50 Гц» на чайнике означает: нагреватель спроектирован под действующее значение, а изоляция должна держать амплитудные 311 В плюс запас. Прикидка, которая спасает: амплитуда всегда примерно в полтора раза больше действующего значения.

Конденсатор и катушка: сопротивления, зависящие от частоты#

Резистор в цепи переменного тока ведёт себя предсказуемо: $U=IR$ с тем же $R$, что и для постоянного. А вот два других героя ведут себя хитрее — их сопротивление зависит от частоты. Индуктивное сопротивление катушки:

Логика: ток в катушке меняется — работает ЭДС самоиндукции $\epsilon =-LdI/dt$, и чем быстрее изменения, тем сильнее препятствие. Катушка для постоянного тока — почти провод ($X_L=0$), а на высоких частотах — стена. Пример: $L=0,1$ Гн на частоте 50 Гц даёт $X_L=314\cdot 0,1=31,4$ Ом; на 5000 Гц — уже 3140 Ом.

Ёмкостное сопротивление конденсатора — с точностью до наоборот:

Конденсатор вообще не пропускает постоянный ток ($X_C=\infty$), но чем быстрее перезарядка, тем легче через него идёт ток: на 50 Гц конденсатор 10 мкФ имеет $X_C=1/(314\cdot 10^{-5})\approx 318$ Ом, на 5000 Гц — всего 3,2 Ом. Отсюда живая мнемоника: катушка душит высокие частоты, конденсатор — низкие. На этой паре построены все фильтры в аудиотехнике: басы идут через катушку к низкочастотному динамику, пищалки питаются через конденсатор.

Полное сопротивление и закон Ома#

В цепочке из резистора, катушки и конденсатора складывать сопротивления простым сложением нельзя — напряжения на них дрожат в разных фазах: на резисторе ток совпадает с напряжением, на катушке отстаёт на четверть периода, на конденсаторе опережает. Учёт фаз геометрический: индуктивное и ёмкостное сопротивления вычитаются друг из друга, а с активным складываются «по Пифагору»:

$Z$ — полное сопротивление (импеданс) в омах, $\phi$ — сдвиг фаз между током и напряжением. Закон Ома приобретает вид $I=U/Z$ — для действующих значений. Для продвинутых: тот же расчёт компактнее в комплексных числах, где $i\omega L$ и $1/(i\omega C)$ — чисто мнимые сопротивления, см. термин комплексное число. Пройдём числовой пример по шагам:

Коэффициент мощности $\cos \phi$ — не бюрократия, а деньги. Нагрузка с $\cos \phi =0,6$ заставляет провода станции пропускать ток в $1/0,6$ раза больше нужного для той же полезной работы. Поэтому на заводах параллельно моторам ставят батареи конденсаторов — их опережающий ток компенсирует отстающий ток катушек и подтягивает $\cos \phi$ к единице. Активная мощность считается по формуле $P=UI\cos \phi$ — запомните её вместе с численным примером: $P=I^{2}R=4\cdot 30=120$ Вт. Сходится.

Резонанс: когда сопротивления обнуляют друг друга#

Полное сопротивление минимально, когда реактивные вклады гасятся: $X_L=X_C$. Отсюда условие резонанса:

При резонансе цепь видна сети как чистый резистор: $Z=R$, сдвиг фаз нулевой, ток максимален, а напряжения на катушке и конденсаторе могут по отдельности в десятки раз превышать напряжение источника — отсюда имя «резонанс напряжений». Числовой пример: $L=0,1$ Гн, $C=10$ мкФ. Тогда ${\omega }_0=1/\sqrt{0,1\cdot 10^{-5}}=1/\sqrt{10^{-6}}=1000$ рад/с, а частота ${\nu }_0=1000/(2\pi )\approx 159$ Гц.

Именно на резонансе настроен радиоприёмник: колебательный контур с катушкой и конденсатором отзывается громким током только на свою частоту — частоту станции, — а соседние по шкале частоты проходит мимо. Вращая ручку настройки, вы меняете ёмкость $C$ и двигаете резонанс по шкале. Формально контур описывается дифференциальным уравнением второго порядка — тем же, что у пружинного маятника: заряд играет роль координаты, индуктивность — массы, а величина, обратная ёмкости, — жёсткости пружины. Электричество и механика в этой точке — один и тот же курс математики.

Контрольный мини-расчёт: сеть 220 В (действующее), резистор 22 Ом. Ток $I=10$ А, мощность $P=2200$ Вт. Кто подставил амплитуду 311 В, получит ток 14,1 А и мощность 4400 Вт — ровно вдвое больше, и счёт за электричество удвоится на бумаге. Реальный счётчик считает тепло, то есть действующие значения, и покажет честные 2,2 кВт.