Электромагнитная индукция: закон Фарадея и правило Ленца

Оглянитесь: почти вся электроэнергия планеты — от ГЭС до атомной станции — рождается одним и тем же трюком, который Майкл Фарадей разглядел в 1831 году. Он двигал магнит рядом с катушкой — и стрелка гальванометра дёргалась. Двигал быстрее — дёргалась сильнее. Останавливал — затихала. Никакого источника тока, а ток есть. Это электромагнитная индукция: переменное магнитное поле рождает электрическое. Урок о том, как это явление записать одной формулой и научиться ею пользоваться.

Магнитный поток: что именно меняется#

Напомним героя из прошлого урока. Магнитный поток через рамку площадью $S$ — это индукция, умноженная на площадь и на косинус угла между полем и нормалью к рамке:

Строго говоря, поток — интеграл от индукции по поверхности, но для однородного поля и плоской рамки достаточно этой формулы. Единица — вебер: $1$ Вб $=1$ Тл·м². Интуиция такая: поток — «сколько линий поля пронизывает рамку». Меняться он может тремя способами: изменили $B$, изменили $S$, повернули рамку. Для индукции важно лишь одно: меняется ли поток. Как именно — все равно.

Закон Фарадея: ЭДС равна скорости изменения потока#

Главный закон темы связывает ЭДС индукции со скоростью изменения потока:

Здесь $\epsilon$ — ЭДС индукции в вольтах, $d\Phi /dt$ — производная потока по времени. Быстрее меняется поток — больше ЭДС; не меняется — ЭДС нулевая, что бы там ни было с величиной поля. Постоянный магнит, лежащий внутри катушки, тока не создаёт. Ток рождается только в момент движения.

Если рамка состоит из $N$ витков, каждый виток даёт свою ЭДС, и они складываются: $\epsilon =-N\cdot d\Phi /dt$. Так работают трансформаторы: вторичная обмотка с тысячей витков собирает с одной единицы потока в тысячу раз больше вольт, чем одиночный виток.

Числовой прогон: поток через рамку вырос с 5 до 15 мВб за 0,1 с. Средняя ЭДС $|\epsilon |=\Delta \Phi /\Delta t=10\cdot 10^{-3}/0,1=0,1$ В. Сто милливольт — немного, но добавьте 500 витков, и вот вам уже 50 В.

На графике спрятана вторая любимая экзаменационная ловушка. Где ЭДС максимальна? Не там, где поток велик, а там, где он быстро меняется — на нулях синусоиды. В пиках потока производная обнуляется, и ЭДС на мгновение исчезает. Если увидели синусоиду потока — рисуйте косинусоиду ЭДС, сдвинутую на четверть периода.

Правило Ленца: знак минус как закон природы#

Правило Ленца расшифровывает минус: индукционный ток всегда направлен так, чтобы препятствовать изменению потока, которое его породило. Вдвигаете магнит в кольцо — кольцо становится магнитом и отталкивает вас. Выдвигаете — кольцо тянет магнит обратно. Эффект называется электромагнитной инерцией: ток сопротивляется любым переменам, как тяжёлое тело сопротивляется разгону.

Опыт, который стоит увидеть вживую: магнит падает сквозь медную трубку. Медленно, будто в мёде. В стенках трубки рождаются вихревые токи, их поле тормозит магнит — и падение длится в разы дольше свободного. Тот же механизм гасит стрелку гальванометра (рамка движется в поле и тормозит) и греет сердечники трансформаторов (там это уже вредно). Такие замкнутые токи в массивных проводниках называют вихревыми, или токами Фуко.

ЭДС в движущемся проводнике#

Отдельный случай: проводник движется в постоянном поле со скоростью $v$, перпендикулярной линиям $\vec{B}$. Вместе с проводом движутся заряды, на них действует сила Лоренца, вдоль провода накапливается разделение зарядов — и вот измеряется ЭДС:

$l$ — длина активной части проводника. Пример: стержень длиной 0,5 м скользит со скоростью 10 м/с по рельсам в поле 0,2 Тл. ЭДС $\epsilon =0,2\cdot 0,5\cdot 10=1$ В. Замкнём рельсы на резистор 2 Ом — потечёт ток 0,5 А. И вот красота: чтобы тянуть стержень, нужна сила $F=BIl=0,2\cdot 0,5\cdot 0,5=0,05$ Н, а её мощность $Fv=0,5$ Вт — ровно столько же выделяется в резисторе ($\epsilon I=1\cdot 0,5=0,5$ Вт). Механическая работа полностью превращается в электричество. Это и есть генератор в миниатюре — вся энергетика мира крутится вокруг этой формулы.

Самоиндукция: катушка против собственного тока#

Ток в проводнике создаёт вокруг него магнитное поле, а поле пронизывает сам проводник. Меняем ток — меняется и поток собственного поля — и по закону Фарадея рождается ЭДС, сопротивляющаяся изменению. Это самоиндукция, а коэффициент между током и потоком называется индуктивностью:

Индуктивность $L$ измеряется в генри (Гн) и зависит от геометрии катушки: у соленоида $L=\mu {\mu }_0{n}^{2}lS$ — намотка плотнее, индуктивность выше, причём в квадрате. Размыкаете цепь с большой катушкой: ток падает быстро, $dI/dt$ огромно, и ЭДС самоиндукции бьёт в сотни вольт — та самая искра на рубильнике. Пример: $L=0,5$ Гн, ток в 4 А гаснет за 0,02 с. Средняя ЭДС $|\epsilon |=L\cdot \Delta I/\Delta t=0,5\cdot 4/0,02=100$ В — при батарейке в несколько вольт! Катушка отдаёт энергию, накопленную в поле.

Кстати, об энергии. Катушка с током хранит энергию в магнитном поле — по формуле, которая зеркальна конденсатору:

Для $L=0,1$ Гн и тока 2 А это $W=0,1\cdot 4/2=0,2$ Дж. Сравните пары: конденсатор хранит $C{U}^2/2$ в электрическом поле, катушка — $L{I}^2/2$ в магнитном. Ёмкость заменяется индуктивностью, напряжение — током. Эта зеркальность доживёт до переменного тока, где станет архитектурой всего раздела.

Ещё одна частая потеря баллов — забытые витки. ЭДС всей обмотки в $N$ раз больше ЭДС одного витка: $\epsilon =-Nd\Phi /dt$. В задаче, где катушка из 200 витков пронизывается потоком, меняющимся на 2 мВб за 0,04 с, ответ равен $\frac{0,002}{0,04}\cdot 200=10$ В, а не 0,05 В. Витки — множитель, который сидит в условии и ждёт, пока вы его заметите.