Волноводы и резонаторы: критическая частота, моды и добротность

Радиолокатор корабля излучает импульсы в десятки киловатт на частоте 10 ГГц. Попробуйте передать эту мощность коаксиальным кабелем: центральная жила тоньше карандаша, скин-эффект загоняет ток в микронный слой меди, и кабель разогревается быстрее, чем успевает передать хоть что-то полезное. Инженеры выход нашли ещё в 1930-е: не гонять ток по проводу вообще, а загнать волну в полую металлическую трубу — волновод. Внутри неё нет ни проводников, ни диэлектрика с потерями — только поле и отражающие стенки. Микроволновая печь, спутниковая тарелка, радар, ускоритель — везде энергия сантиметровых волн идёт по железным коробкам. Разберёмся, почему волна согласна лететь по трубе, но не на всякой частоте.

Критическая частота: ниже — не едет#

Пусть прямоугольный волновод имеет ширину $a$ (широкая стенка) и высоту $b$ (узкая). Волна внутри не бежит по прямой: она скачет от стенки к стенке зигзагом, а по волноводу движется уже её «тень» — огибающая. Поперёк трубы волны, идущие зигзагом, складываются в стоячую волну — как на закреплённой струне. А стоячая волна между стенками уживается не всегда: на ширине $a$ обязана укладываться хотя бы половина волны. Отсюда главный параметр волновода — критическая длина волны:

Волны длиннее $2a$ в трубе не распространяются: поле затухает экспоненциально за считаные сантиметры, как свет в глухой стене. Волны короче — летят свободно. Стандартный X-диапазон радаров — волновод $23\times 10$ мм: критическая частота ${\nu }_{\text{кр}}=\frac{3\cdot 10^8}{2\cdot 0.023}\approx 6.5$ ГГц, рабочий диапазон 8.2–12.4 ГГц. Размеры трубы напрямую задают полосу: широкую стенку делают около половины длины рабочей волны — и конструкция сама фильтрует частоты.

У зигзагообразного хода есть ещё одно следствие: фронт волны, скачущий под углом, догоняет свою проекцию — фазовая скорость вдоль волновода становится больше скорости света, а скорость переноса энергии (групповая) — меньше. Противоречия с СТО нет: фазовая скорость не переносит ни энергию, ни информацию. Зато длина волны вдоль трубы растягивается:

Моды: сколько способов нести волну#

Если на ширине укладывается ровно полволны — это мода $H_{10}$, основная и самая длинноволновая. Уложатся две полуволны — $H_{20}$, три — $H_{30}$, и у каждой своя критическая частота: ${\nu }_{\text{кр},m}=mc/(2a)$. Отдельная серия мод живёт по высоте $b$. Индексы образуют целую лестницу, и ниже $H_{10}$ лестница пуста — потому основную моду и выбирают рабочей: в диапазоне от ${\nu }_{\text{кр}}(H_{10})$ до ${\nu }_{\text{кр}}(H_{20})$ волновод одномодовый — каждая частота едет ровно одним способом, без набегов между модами. Именно для этого широкую стенку и держат между ${\lambda }_0/2$ и ${\lambda }_0$: коробка пропускает волну, но душит всё, что могло бы поехать вторым способом.

Поле в волноводе — результат интерференции всех косых лучей, отскочивших от стенок. Карта этой интерференции в свободном пространстве похожа на картину двух когерентных источников: чередование узлов и пучностей, чёткие каналы усиления и гашения.

Резонаторы: волновод, замкнутый сам на себя#

Заварите торцы отрезка волновода крышками — получите объёмный резонатор: полость, в которой волна мечется между стенками и образует стоячую волну. Условие самосогласования то же, что у струны: на длине $L$ укладывается целое число полуволн волноводной длины, $L=p{\lambda }_{\text{в}}/2$. Это уже не контур с катушкой и конденсатором, а полость размером в сантиметры — на СВЧ именно она держит рекордные добротности, потому что ток течёт по внутренней стенке без витков и зазоров.

Добротность $Q$ измеряет, сколько колебаний успевает сделать запасённая энергия, пока рассеивается её доля: $Q=\omega W/P$, где $W$ — энергия в полости, $P$ — потери мощности. Та же величина по-другому: $Q={\nu }_0/\Delta \nu$ — во сколько раз собственная частота шире резонансной кривой. Медный резонатор на 10 ГГц даёт $Q\approx 5000-10000$: волна отыгрывает тысячи отражений, и ширина полосы — единицы мегагерц. Сверхпроводящие ниобиевые полости ускорителей поднимают планку до $10^{10}$: возбуждённое поле живёт секунды, а не наносекунды. Цена за узкую полосу — неспособность резонатора следить за частотой: чем выше $Q$, тем строже полость требует «своей» частоты, как маятник — своего ритма.

На частотах ниже СВЧ ту же роль играет колебательный контур из катушки и конденсатора, и там фазовые отношения видны на фазорах: при резонансе напряжение на индуктивности и на ёмкости равны и противоположны, реактивности гасят друг друга, и остаётся чисто активное сопротивление.

Связь добротности с контурной прямая: у последовательного контура $Q=\frac{1}{R}\sqrt{L/C}$, и полость со стенками из лучшей меди — это тот же контур с минимальным $R$. Резонанс в цепях переменного тока и резонанс в полостях — одна и та же физика на разных технологиях: накопление энергии в такт, отбор её доли за период, острая резонансная кривая. Отсюда и разделение труда: контур — для мегагерц, полость — для гигагерц, а электромагнитная волна между ними та же самая.

Где всё это работает#

Микроволновая печь: магнетрон вырабатывает 2.45 ГГц, волновод в виде расширяющегося канала ведёт волну в камеру, а сама камера — резонатор наизнанку: полость с загрузкой, где волна ходит до полного поглощения едой. Ускорители поступают наоборот: сверхпроводящие полости запасают мегаватты реактивной энергии и отдают её пучку частиц ровными порциями, калиброванными до долей процента. Радары ведут импульсы волноводом к антенне и обратно, фильтры связи на вышках — резонаторные полости, отбирающие свою частоту из эфира. Даже шторка слюды в дверце печи — волновая техника в чистом виде: дырочки в ней на порядок меньше полуволны, и для волны 12.2 см такая сетка непроницаема, а для света — прозрачна.

• Волновод — полая труба: волна летит зигзагом, поперёк стоит, вдоль бежит
• Критическая частота $c/(2a)$: ниже — поле экспоненциально умирает, выше — распространяется
• ${\lambda }_{\text{в}}$ всегда больше ${\lambda }_0$; фазовая скорость в полости больше $c$, групповая меньше — и это не нарушение СТО
• Моды $H_{10},H_{20},\dots$ — целое число полуволн по ширине; одномодовый диапазон между их критиками
• Объёмный резонатор — замкнутый волновод: $L=p{\lambda }_{\text{в}}/2$, добротность в тысячи (медь) и в миллиарды (сверхпроводник) единиц

Куда идти дальше. База — электромагнитные волны и уравнения Максвелла: полость живёт по тем же правилам, только волна в ней заперта. Фазовая техника расчёта цепей переменного тока — в уроке про переменный ток, а физику резонанса от контуров до маятников собирают механические колебания и инженерная версия — резонанс в цепях. Комплексные амплитуды, через которые считают импедансы полостей, — это комплексные числа; нужные формулы контуров собраны в шпаргалке по фазорам, а постоянные поля и материалы — в шпаргалке по электростатике.