Резонанс в электрических цепях: напряжения, токи и добротность

Вольтметр на конденсаторе показывает 100 В, а генератор на входе выдаёт всего 10. Прибор не врёт, генератор тоже: это резонанс — а точнее, резонанс напряжений в последовательном контуре, который мы здесь и разбираем. Контур без трансформатора и без источника питания «поднимает» напряжение вдесятеро — и именно поэтому его боятся в силовых сетях и обожают в радиоприёмниках. Разберёмся, откуда берётся эта десятикратность, как её посчитать до вольта и чем последовательный резонанс отличается от параллельного.

Резонанс напряжений: когда XL = XC#

Возьмём последовательную цепочку R–L–C и вспомним импеданс из урока комплексный метод расчёта: $Z=R+j(X_L-X_C)$, где $X_L=\omega L$ растёт с частотой, а $X_C=1/(\omega C)$ падает. Значит, на какой-то частоте реактивности встречаются и гасят друг друга:

При $\omega ={\omega }_0$ мнимая часть импеданса обнуляется, и цепь видна источнику как чистый резистор: $Z=R$ — минимум сопротивления. Ток становится максимальным и совпадает по фазе с напряжением. А напряжения на катушке и конденсаторе продолжают считаться через свои реальные сопротивления ${\omega }_{0}L$ и $1/({\omega }_{0}C)$ — и, как увидим на числах, каждое может многократно превышать входное. Отсюда и имя явления: резонанс напряжений. Полная аналогия — качели: слабые толчки в правильном такте раскачивают тяжёлую доску, потому что энергия возвращается точно в ритме.

Добротность и характеристическое сопротивление#

Во сколько раз $U_L$ превысит входное напряжение? На резонансе ток $I=U/R$, а $U_L=I\cdot {\omega }_{0}L$. Отношение этих величин заслужило собственное имя — добротность контура:

Характеристическое сопротивление $\rho =\sqrt{L/C}$ — это то сопротивление, которое имели бы реактивности на резонансной частоте, будь $R$ равен нулю; оно зависит только от самих $L$ и $C$, а не от потерь. Добротность $Q$ показывает, во сколько раз реактивные напряжения больше входного, — и то же самое в энергетике: за один период контур теряет $2\pi /Q$ долю запасённой энергии. У высокодобротного контура качели качаются долго, у низкодобротного — вязнут.

Полный пример: контур 0,1 Гн · 10 мкФ · 10 Ом#

Прогоним стандартный расчёт: катушка $L=0,1$ Гн, конденсатор $C=10$ мкФ, сопротивление потерь $R=10$ Ом, на входе $U=10$ В. Найдём резонансную частоту, добротность и напряжения на элементах.

Обратите внимание, как красиво сомкнулись три взгляда на одну добротность: $U_L/U=10$, ширина кривой $f_0/Q$ и доля потерь за период $2\pi /Q$ — это одно и то же число в трёх одеждах. Для энергии вывод честный: конденсатор отдаёт в катушку максимум поля ровно тогда, когда магнитное поле обнуляется, и обратно — энергия конденсатора качается в контуре, а сопротивление лишь потихоньку сливает её в тепло.

Что происходит выше и ниже резонанса

Контур ведёт себя по-разному с двух сторон от пика. Ниже резонансной частоты ёмкостное сопротивление больше индуктивного ($X_C>X_L$), реактивная часть отрицательна, и ток опережает напряжение — цепь ёмкостная. Выше — всё наоборот: доминирует $\omega L$, ток отстаёт, характер индуктивный. Ровно на пике фазовый сдвиг проходит через ноль и меняет знак. Эти три режима удобно держать в голове при проверке схем осциллографом:

• $\omega <{\omega }_0$: ток опережает напряжение — цепь выглядит конденсатором с добавкой активного сопротивления
• $\omega ={\omega }_0$: ток и напряжение в фазе, ток максимален, реактивности «невидимы» снаружи
• $\omega >{\omega }_0$: ток отстаёт — цепь ведёт себя как катушка; чем дальше от пика, тем сильнее сдвиг тянется к $90^{\circ }$

Откуда берётся расплата за высокие добротности? Из реальных потерь: провод обмотки греется, сердечник перемагничивается, между витками копится паразитная ёмкость. У хорошего радиочастотного контура $Q$ — десятки и сотни; у кварцевого резонатора, где механические потери крошечные, — десятки тысяч и выше, поэтому часы на кварце уходят на секунды в год; пьезокерамические фильтры занимают промежуток между ними. Задача конструктора — получить нужную $Q$ там, где она нужна: острую для селекции, тупую для широкополосного усилителя.

АЧХ и полоса пропускания: почему приёмник ловит одну станцию#

Уведём частоту от резонанса — и ток осянет, потому что разность $X_L-X_C$ снова вырастет. Зависимость $I(\omega )$ с острым пиком на ${\omega }_0$ называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) контура. По уровню $1/\sqrt{2}\approx 0,707$ от максимума (там мощность упала вдвое) меряют полосу пропускания:

Для нашего контура $\Delta f=159/10\approx 16$ Гц — узкий гребень, ровно та полоса пропускания, о которой шла речь выше. Радиоприёмник: настроить контур на $1$ МГц с $Q=100$ — значит получить полосу $10$ кГц, как раз достаточную для голоса диктора и слишком узкую для соседних станций. Вращая ручку настройки, вы меняете ёмкость конденсатора и передвигаете весь пик по шкале частот — формула ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ превращается в правило «хочешь выше по диапазону — уменьшай $C$». Прикинем: при $L=0,1$ мГн на частоту $1$ МГц нужен конденсатор $C=1/({\omega }_0^{2}L)=1/((6,28\cdot 10^6{)}^2\cdot 10^{-4})\approx 253$ пФ.

Резонанс токов: параллельный контур и компенсация реактивной мощности#

Соединим катушку и конденсатор параллельно — получим второй тип резонанса, который в словаре называется резонанс токов. Токи в ветвях при резонансной частоте равны по модулю и противофазны: реактивный ток ходит по кольцу «катушка–конденсатор», не выходя наружу. Источник видит максимальное сопротивление и даёт минимальный ток — ровно противоположность последовательному случаю. Для контура с потерями $R$ эквивалентное сопротивление на резонансе:

В наших числах: $Z_{\text{рез}}=0,1/(10^{-5}\cdot 10)=1000$ Ом — те же $\rho Q=100\cdot 10$. В ветвях при этом гуляют токи в $Q$ раз больше тока источника — потому и название: резонанс токов. Числовой прикид для того же контура под сетью 220 В: ток источника $I=220/1000=0,22$ А, а внутри кольца катушка и конденсатор обмениваются токами $I_L=I_C=220/\rho =220/100=2,2$ А — десятикратная надбавка при крошечном токе из сети. Провода внутри контура считайте на эти два ампера, а ввод питания — на четверть ампера.

Практика энергетики стоит ровно на этом: параллельно моторам включают батарею конденсаторов, их опережающий ток компенсирует отстающий — это и есть компенсация реактивной мощности, и по кабелю от подстанции течёт только активная составляющая. $\cos \phi$ подтягивается к единице, потери падают — та же физика, о которой шла речь в уроке про треугольник мощностей.

Механика в помощь: контур — это пружина с грузиком#

Все формулы этого урока вы уже видели — в механике колебаний. Заряд играет роль координаты, индуктивность — массы, обратная ёмкость — жёсткости пружины, сопротивление — вязкого трения. Аналогия не метафора, а точное соответствие уравнений: $L\ddot{q}+R\dot{q}+q/C=0$ — то же уравнение, что у маятника с трением, вплоть до коэффициентов. Резонансная частота ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ получается заменой $LC\leftrightarrow m/k$ из формулы $\sqrt{k/m}$, а добротность $Q=\rho /R$ — из механической $\sqrt{km}/b$.

Отсюда единая карта применений: входной контур радиоприёмника выделяет частоту станции, LC-фильтры в блоках питания глушат пульсации, индукционные плиты греют посуду токами раскачанного контура, а энергокомпания подавляет резонансные аварии, добавляя демпфирующие сопротивления. Металлоискатель, металлодетектор в аэропорту, беспроводная зарядка — везде тот же контур, настроенный в такт. Механическую сторону — маятники, резонанс и биения — подробно разбирает урок механические колебания.

Пара слов о согласовании, чтобы не удивляться на лабораторной. Мощность, которую последовательный контур забирает у источника, максимальна, когда полное сопротивление источника совпадает с $R$ контура — тот самый режим согласования из урока про цепи постоянного тока, где КПД всего $50\%$. В приёмной антенне это и нужно: слабый сигнал важнее экономии, и входной контур подбирают под выходное сопротивление антенны. В силовых цепях логика обратная: там важен КПД, поэтому к резонансу идут с опаской и искусственно поднимают потери, лишь бы не раскачать сеть.

Следующий шаг логичен: раз контур качается, что будет, если его оставить без источника? Затухание, логарифмический декремент и время разряда — это уже переходные процессы в цепях, куда стоит зайти сразу после этого урока. Самоиндукцию как источник противо-ЭДС освежите в материале электромагнитная индукция, а сравнение с физическим описанием переменного тока — в уроке переменный ток. Расчётный фундамент всего курса лежит в уроке цепи постоянного тока — без него правила Кирхгофа для сложных схем с контурами собирать тяжело.