Как работать с фазорами: символический метод расчёта цепей

Считать цепь переменного тока через мгновенные значения — значит дифференцировать синусы в каждом уравнении Кирхгофа и вязнуть в тригонометрических тождествах уже на втором элементе. Фазоры (символический метод) делают то же самое алгеброй: синусоида становится комплексным числом, дифференцирование — умножением на $j\omega$, и вся цепь начинает жить по правилам постоянного тока. База о синусоидальных величинах — в уроке синусоидальный ток, математика комплексных чисел — в курсе ТФКП; здесь — метод целиком, от перевода до диаграммы.

Шаг 1. Перевод синусоиды в фазор#

Мгновенное значение $u(t)=U_m\sin (\omega t+\psi )$ определяется тремя числами: амплитудой $U_m$, угловой частотой $\omega$ и начальной фазой $\psi$. В установившемся режиме линейной цепи с одним источником частота $\omega$ у всех сигналов одинакова, и различие живёт только в амплитудах и фазах. Их и упаковывают в одно комплексное число:

Почему это законно: $e^{j\omega t}$ — общий множитель всех сигналов одной частоты, а его производная равна $j\omega e^{j\omega t}$. Дифференцирование превратилось в умножение, интегрирование — в деление на $j\omega$. Множитель $j$ поворачивает фазор на $90^{\circ }$ — ровно четверть периода, и всё, что раньше было «косинус вместо синуса», стало поворотом на комплексной плоскости. Соответствия для трёх элементов:

Складывая сопротивления последовательной цепи, получаем комплексное сопротивление $Z=R+j(X_L-X_C)$ — термин с определением, вывод и приложения — в уроке комплексного метода. Реактивные части сидят в квадратуре к активной: модуль $Z$ — гипотенуза, а не арифметическая сумма. Отсюда главное предостережение темы: писать $R+X_L-X_C$ нельзя — вернётся $\sqrt{2}$ ошибки уже на треугольнике со сторонами 40 и 30.

Параллельное соединение ведёт себя симметрично: через проводимость $\underline{Y}=\frac{1}{Z}$ ветви складываются как комплексные числа, и контур из параллельных ветвей считается без сворачивания в один резистор. Для большинства контрольных достаточно последовательной формы — держите её в голове, параллельную подключайте по мере надобности.

Шаг 2. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме#

Формулы не меняются — меняются объекты: закон Ома связывает фазоры, суммы Кирхгофа становятся суммами векторов. Первый закон: сумма токов в узле равна нулю — сложение комплексных чисел, не модулей. Второй: сумма ЭДС контура равна сумме падений напряжения. Всё, что вы умели для цепей постоянного тока (методы расчёта), переносится один в один: контурные токи, наложения, эквивалентный генератор.

Шаг 3. Полный пример: последовательная RLC-цепь#

Возьмём цепь из источника $e(t)$ частоты $\omega$ с действующим значением $E=100$ В, резистора $R=40$ Ом, катушки с $X_L=50$ Ом и конденсатора с $X_C=20$ Ом. Числа выбраны из пифагоровой тройки $30^2+40^2=50^2$ — и это не кокетство: попробуйте честно довести вариант $R=30$, $X_L=40$, $X_C=20$, и на пути встанет $Z=\sqrt{1300}\approx 36,06$ Ом, ток $2,77$ А и угол $33,69^{\circ }$. Ответы верные, но проверять их на контрольной — отдельное страдание. С нашими числами каждый шаг сверяется в уме.

1. 1
   Фазор источника: $\underline{E}=100\angle 0^{\circ }$ В — опорный вектор вдоль вещественной оси. Работаем комплексами действующих значений, делитель $\sqrt{2}$ уже учтён.
2. 2
   Импеданс: $Z=R+j(X_L-X_C)=40+j30$ Ом; модуль $|Z|=\sqrt{40^2+30^2}=50$ Ом; аргумент $\phi =\mathrm{arctg}\frac{30}{40}\approx 36,87^{\circ }$. Итого $Z=50\angle 36,87^{\circ }$ Ом.
3. 3
   Ток: $\underline{I}=\frac{\underline{E}}{Z}=\frac{100\angle 0^{\circ }}{50\angle 36,87^{\circ }}=2\angle -36,87^{\circ }$ А — модули делятся, аргументы вычитаются. В прямоугольной форме: $\underline{I}=1,6-j1,2$ А.
4. 4
   Напряжения на элементах: ${\underline{U}}_R=R\underline{I}=80\angle -36,87^{\circ }$ В; ${\underline{U}}_L=j{X}_L\underline{I}=100\angle 53,13^{\circ }$ В — множитель $j$ добавил $90^{\circ }$; ${\underline{U}}_C=-j{X}_C\underline{I}=40\angle -126,87^{\circ }$ В.
5. 5
   Проверка вторым законом Кирхгофа в прямоугольной форме: ${\underline{U}}_R=64-j48$, ${\underline{U}}_L=60+j80$, ${\underline{U}}_C=-24-j32$; сумма — ровно $100+j0$ В. А сложение модулей бессмысленно: $80+100+40=220\ne 100$ — вольтметры элементов арифметически не складываются.
6. 6
   Мощности: $S=EI=200$ ВА, $P=S\cos \phi =160$ Вт, $Q=S\sin \phi =120$ вар; контроль через элементы: $P=I^{2}R=160$ Вт, $Q=I^2(X_L-X_C)=120$ вар.

Характер цепи индуктивный: $X_L>X_C$, ток отстаёт от ЭДС на $36,87^{\circ }$ — перевес катушки. Сдвиньте $X_C$ вверх, и угол начнёт таять; при $X_L=X_C$ он обнулится — это резонанс напряжений, ток станет максимальным и чисто активным.

Шаг 4. Обратный переход и векторная диаграмма#

Обратный переход — чтение фазора назад. Мгновенный ток: $i(t)=I\sqrt{2}\sin (\omega t-36,87^{\circ })\approx 2,83\sin (\omega t-36,87^{\circ })$ А — множитель $\sqrt{2}$ переводит действующее значение в амплитуду (что такое действующее значение). Напряжения аналогично: $u_R(t)=80\sqrt{2}\sin (\omega t-36,87^{\circ })$ В, $u_L(t)=100\sqrt{2}\sin (\omega t+53,13^{\circ })$ В, $u_C(t)=40\sqrt{2}\sin (\omega t-126,87^{\circ })$ В.

Векторная диаграмма собирается за минуту: отложите $\underline{I}$ под $-36,87^{\circ }$, на нём — ${\underline{U}}_R$ (вдоль тока), ${\underline{U}}_L$ (перпендикуляр вперёд) и ${\underline{U}}_C$ (перпендикуляр назад); замыкающий вектор — источник, ровно $100$ В. Диаграмма — не украшение: она мгновенно показывает, откуда берётся сдвиг фаз и что произойдёт при приближении $X_C$ к $X_L$. Соберите её руками хотя бы раз — потом глаз будет ловить ошибку в расчёте по одной кривизне стрелок.

Куда дальше: все формулы на одном листе — шпаргалка по фазорам, репетиция руками — тренажёр фазоров. Ближайшее применение — трёхфазные цепи: там фазоры не дань моде, а рабочий язык инженера. Математическая база — комплексные числа и шпаргалка по ним; физический фундамент переменного тока — в уроке физики о переменном токе, а качество контура меряется добротностью колебательного контура.