Трёхфазные цепи: звезда и треугольник с примерами расчёта

История, которую электрики рассказывают каждой зимой: в посёлке пропало напряжение, а когда его дали обратно, у половины жильцов погорели холодильники и зарядки. У других техника уцелела, но лампы светили вполнакала. Виноват не скачок на подстанции, а обрыв нулевого провода где-то на линии. Странно: ноль же «ничего не потребляет» — зачем он вообще? Ответ прячется в устройстве трёхфазной сети. Как только вы поймёте, что такое звезда и треугольник, эта авария перестанет выглядеть загадкой.

Зачем нужны три фазы, если хватает одной#

Одной фазы лампочке действительно хватает. Но у энергетики задачи крупнее: передавать мегаватты за сотни километров и крутить миллионы электродвигателей. Для этого одну фазу дублируют трижды, сдвигая во времени, — тот самый трёхфазный ток, на котором стоит вся энергетика. Три синусоиды ЭДС одного размаха со сдвигом на 120° и образуют трёхфазную систему. Выгода получается тройная.

• Экономия проводов. Три независимые однофазные линии — это шесть проводов. Трёхфазная линия связывает те же три нагрузки четырьмя проводами, а при симметричной нагрузке — вообще тремя. На линии в сотни километров счёт идёт на тонны меди.
• Вращающееся магнитное поле. Три катушки, обтекаемые токами со сдвигом 120°, создают поле, которое крутится само, без коммутаторов и щёток. На этом стоит весь асинхронный двигатель.
• Ровная нагрузка на вал. Суммарная мгновенная мощность симметричной трёхфазной системы постоянна в каждый момент времени: генератор отдаёт энергию без пульсаций, вал турбины не дёргается.

Идею довёл до рабочей техники Михаил Осипович Доливо-Добровольский: в 1891 году его трёхфазная линия передала энергию от гидростанции Лауфен до электротехнической выставки во Франкфурте — около 175 километров. Схема с тех пор не менялась в принципе. Меняются только напряжения, материалы и изоляция.

Раз уж три ЭДС — это три синусоиды со сдвигом, удобно сначала освежить сам язык синусоид: амплитуда, частота, начальная фаза разобраны в уроке про синусоидальный ток, а физика самой кривой — в переменном токе курса физики.

Как генератор делает три синусоиды

Ротор синхронного генератора — электромагнит, который крутит турбина. На статоре сидят три обмотки, смещённые на треть окружности. Поле проходит первую обмотку, затем через 120° поворота — вторую, ещё через 120° — третью: каждая видит максимум потока на треть периода позже соседней. Сдвиг 120° во времени куплен чистой геометрией, без фазовращателей и хитрых схем. Заодно и масштаб: при 50 Гц двухполюсный ротор делает 3000 оборотов в минуту — ровно так крутится вал турбины на ТЭЦ.

Откуда берётся 380, если фазе хватает 220#

Три обмотки генератора разнесены в пространстве на треть окружности, поэтому их ЭДС сдвинуты по времени на те же 120°. Каждая обмотка — отдельная фаза. Концы всех трёх обмоток соединяют в общую точку $N$ — нейтраль, а начала выводят тремя линейными проводами $A$, $B$, $C$. Такая схема — соединение звездой.

Теперь два напряжения, которые путают чаще всего. Фазное $U_{\text{ф}}$ — между линейным проводом и нейтралью: в бытовой сети это 220 В, ровно то, что в розетке. Линейное $U_{\text{л}}$ — между двумя линейными проводами: те самые 380 В, которыми питают двигатели и подъёмники. Один источник — два разных напряжения. Как так выходит?

Ответ — векторная разность. Напряжение между проводами $A$ и $B$ — это разность двух фазных напряжений: ${\underline{U}}_{AB}={\underline{U}}_A-{\underline{U}}_B$. Два вектора по 220 В, направленные под углом 120° друг к другу, дают в разности не 0 и не 440, а в точности $2\cdot 220\cdot \cos 30^{\circ }=\sqrt{3}\cdot 220\approx 381$ В. Складывать напряжения по-школьному, арифметикой, здесь нельзя — нужны векторы и операции над ними: разность векторов учитывает угол между ними (сам термин вектор разобран в словаре).

Звезда или треугольник: что с чем считается#

Вторая схема — треугольник: конец одной обмотки соединяют с началом следующей, замыкая кольцо, и из трёх точек кольца выводят линейные провода. Здесь на фазу нагрузки попадает уже полное линейное напряжение — зато токи распределяются иначе. Линейный ток при симметричной нагрузке снова выходит из векторной разности, только теперь двух фазных токов: ${\underline{I}}_A={\underline{I}}_{AB}-{\underline{I}}_{CA}$, и геометрия даёт тот же множитель $\sqrt{3}$.

С этими двумя схемами связан знаменитый шильдик двигателя «380/220, △/Y»: при сети 380 В обмотки соединяют треугольником, при 220 В — звездой, чтобы на каждой фазе всегда оказывалось одно и то же номинальное напряжение. Перепутать — значит сжечь обмотку или потерять момент. Подробное сравнение двух схем — в статье звезда и треугольник.

Числовой прогон на той же нагрузке $Z=22$ Ом, только теперь в треугольнике. На каждую фазу попадает полное линейное 380 В, фазный ток $380/22\approx 17,3$ А, а линейный $\sqrt{3}\cdot 17,3\approx 30$ А. Мощность $P=\sqrt{3}\cdot 380\cdot 30\approx 19,7$ кВт — втрое больше, чем в звезде из того же железа. Это не ошибка арифметики: один и тот же прибор в треугольнике ест втрое больше. Свойство двустороннее: им пользуются и для разгона мощности, и наоборот — для мягкого пуска звезда-треугольник, о котором пойдёт речь в уроке про асинхронные двигатели.

Мощность трёхфазной цепи: одна формула на обе схемы#

Мощность каждой фазы считается по-одиночному: $P_{\text{ф}}=U_{\text{ф}}{I}_{\text{ф}}\cos \phi$. Три фазы — суммируем. А дальше происходит приятное: если подставить соотношения из таблицы, схема соединения исчезает из ответа и остаётся одна формула для симметричного режима, годная и для звезды, и для треугольника.

Здесь $U_{\text{л}}$ и $I_{\text{л}}$ — линейные напряжения и ток, $\phi$ — угол сдвига между фазным напряжением и фазным током (для чисто активной нагрузки $\cos \phi =1$). Точно так же считаются реактивная $Q=\sqrt{3}{U}_{\text{л}}{I}_{\text{л}}\sin \phi$ и полная $S=\sqrt{3}{U}_{\text{л}}{I}_{\text{л}}$ мощности. Сдвиг фаз и треугольник мощностей разобраны в уроке про комплексный метод расчёта.

Зачем в формуле $\cos \phi$? Он показывает, какая доля полной мощности превращается в полезную работу. Двигатель с $\cos \phi =0,8$ из тех же 380 В и 10 А отдаёт $\sqrt{3}\cdot 380\cdot 10\cdot 0,8\approx 5,3$ кВт вместо 6,6 — остальное гоняется туда-обратно между генератором и нагрузкой реактивным током, грея провода и трансформаторы. Поэтому энергосистемы следят за коэффициентом мощности предприятий едва ли не строже, чем за потреблёнными киловаттами.

Симметрия, несимметрия и обрыв нуля#

Если все три нагрузки одинаковы — режим симметричный. Токи фаз равны и сдвинуты на 120°, их сумма в любой момент равна нулю, и по нулевому проводу ток не течёт вовсе. Забавно: провод, который нужен больше всех, в идеальном режиме простаивает. Поэтому симметричную нагрузку подключают даже тремя проводами — нейтраль не нужна.

Но в реальной квартире жильцы включают чайники не по расписанию, и нагрузки фаз всегда несимметричны. Тут нейтраль начинает работать: она связывает нулевые точки источника и приёмника, выравнивает фазные напряжения и забирает на себя разность токов. Пока ноль цел, у каждого потребителя 220 В — независимо от соседей.

А теперь уберите ноль. Нейтральная точка нагрузки «отрывается» от нейтрали источника и её потенциал смещается — перекос фаз: у одних потребителей напряжение подскакивает выше номинала, у других проваливается. Считается это через смещение нейтрали методом двух узлов; для интуиции хватит предельного случая.

1. 1
   Ноль оборван, в фазе $A$ нагрузка отключилась. Потребители фаз $B$ и $C$ остались один на один с линейным напряжением 380 В — они включены последовательно.
2. 2
   Равные нагрузки поделят 380 В пополам — по 190 В: лампы тускнеют, моторы греются. Некритично, но неприятно.
3. 3
   Неравные нагрузки: лампа 100 Вт ($R_1=220^2/100=484$ Ом) и лампа 25 Вт ($R_2=220^2/25=1936$ Ом) последовательно на 380 В.
4. 4
   Ток: $I=380/(484+1936)=380/2420\approx 0,157$ А. Напряжение на слабой лампе: $0,157\cdot 1936\approx 304$ В — почти полтора номинала!
5. 5
   Мощность на ней: $304^2/1936\approx 48$ Вт при номинале 25 Вт. Лампа выгорает. Электроника в такой же ситуации не выживает.

Отсюда и назначение нулевого провода одной строкой: фиксировать нейтраль. Он не «потребляет» энергию — он гарантирует, что 220 В на вашей розетке не зависят от чайника соседа.

Сводка формул

• Звезда: $U_{\text{л}}=\sqrt{3}{U}_{\text{ф}}$, $I_{\text{л}}=I_{\text{ф}}$
• Треугольник: $U_{\text{ф}}=U_{\text{л}}$, $I_{\text{л}}=\sqrt{3}{I}_{\text{ф}}$
• Мощность симметричного режима: $P=\sqrt{3}{U}_{\text{л}}{I}_{\text{л}}\cos \phi =3U_{\text{ф}}{I}_{\text{ф}}\cos \phi$
• Симметричная нагрузка: ток нулевого провода равен нулю
• Обрыв нуля при несимметрии: смещение нейтрали, перекос фазных напряжений
• При симметрии каждая фаза считается независимо, как обычная однофазная цепь — трёхфазность живёт в геометрии, а не в усложнении

Следующий шаг практический: возьмите паспорт любого двигателя в цеху или шильдик домашнего насоса — там есть 380/220 и Y/△. Теперь вы знаете, что скрывается за этими буквами, и можете проверить, та ли схема выбрана для вашей сети. Дальше по курсу — трансформатор, который эти самые 380 вольт и готовит.