Синусоидальный ток: амплитуда, фаза, действующее значение

На удлинителе выбито «250 В», в сети — 220 В, и никто не удивляется, что техника жива. А вольтметр при этом показывает число, которого в сети не существует ни в один момент времени: напряжение непрерывно гуляет от минус 311 до плюс 311 вольт сто раз в секунду. Разобраться, что именно измеряют приборы и почему электрикам так понравился именно синус — задача этого урока. Законы Кирхгофа из урока цепи постоянного тока никуда не денутся — они просто обзаведутся фазами.

Зачем по проводам гоняют именно переменный ток#

Секрет — в трансформаторе: переменный ток намагничивает сердечник, поток меняется, и по закону электромагнитной индукции на вторичной обмотке появляется новое напряжение. Повысить или понизить его можно практически без потерь, а с постоянным током такой фокус до эры силовой электроники не проходил вовсе. Зачем вообще менять напряжение? Считаем передачу: по линии нужно доставить $P=1$ МВт. При $U=10$ кВ ток равен $I=P/U=100$ А, и при сопротивлении проводов $10$ Ом потери составят $I^{2}R=100$ кВт — десять процентов уходит на обогрев атмосферы. Поднимем напряжение до $100$ кВ: ток упадёт до $10$ А, потери — до $1$ кВт. Сто киловатт против одного.

Отсюда и вся архитектура энергосистемы: генератор даёт $10$–20 кВ, трансформатор выталкивает напряжение на ЛЭП до сотен киловольт, у города понижается до $10$ кВ, у дома — до $220/380$ В. Меняется только напряжение, мощность остаётся. Как устроен сам трансформатор — тема отдельного урока трансформаторы; нам же важно, что генератор при вращении рамки в магнитном поле вырабатывает именно синус, и весь дальнейший расчёт цепей подстраивается под него.

Синусоида и три её параметра#

Напряжение в розетке подчиняется закону:

Три буквы — три независимые настройки. Амплитуда $U_m$ — максимальное отклонение от нуля. Угловая частота $\omega =2\pi f=2\pi /T$ связана с частотой $f$ в герцах и периодом $T$ в секундах; для российской сети $f=50$ Гц, $T=0,02$ с, $\omega =2\pi \cdot 50\approx 314$ рад/с. Начальная фаза $\psi$ отвечает на вопрос «где находилась синусоида в момент $t=0$». Запись $u=311\sin (314t+30^{\circ })$ расшифровывается так: амплитуда 311 В, пятьдесят герц, в нулевой момент времени кривая уже прошла 30 градусов своего цикла.

Быстрая прикидка без калькулятора: за 5 миллисекунд — четверть периода — фаза набирает $\omega t=314\cdot 0,005\approx 1,57$ рад, то есть ровно $90^{\circ }$. Синус при этом добегает до максимума: $u=311$ В. Ещё через 5 мс — ноль, через следующие 5 — минус 311 В. Вся жизнь розетки укладывается в эти двадцать миллисекунд.

Действующее значение: вывод через интеграл мощности#

Приборы и маркировки живут не амплитудой, а теплом. Действующее значение (его же называют среднеквадратичным) — это такое значение постоянного напряжения, которое в том же резисторе выделяет ту же мощность за период. Выведем его честно. Мгновенная мощность на резисторе $p(t)=u^2/R=U_m^2{\sin }^2(\omega t)/R$. Среднее за период — интеграл, делённый на период:

Значит, $P=U_m^2/(2R)$. Приравниваем к мощности постоянного напряжения $U^2/R$ — и получаем главную формулу темы:

Проверка на розетке: $311/\sqrt{2}=219,9\approx 220$ В. Вот и вся тайна маркировок: 220 — это действующее значение, а изоляция вилки должна держать амплитудные 311 В, поэтому на удлинителе и выбито 250 В — допустимое действующее напряжение, амплитуда которого $250\cdot 1,41\approx 354$ В даёт запас над сетевыми пиками. Для синусоиды полезно помнить и средневыпрямленное значение — среднее модуля за период:

Кстати о тепле: чайник на 2,2 кВт при 220 В тянет действующий ток $2200/220=10$ А, а пики тока доходят до $10\cdot \sqrt{2}\approx 14$ А. И проводка, и автомат должны выдерживать именно пики — но нагрев провода определяется действующим значением, потому что тепло выделяется в обе стороны колебания: квадрат не различает знак. Термин «среднеквадратичное» здесь не случаен — это то же понятие, что среднеквадратичное отклонение в статистике: корень из среднего квадрата.

• Подставлять амплитуду в формулы мощности — завысить результат ровно в два раза: $\sqrt{2}$ по напряжению умножается на $\sqrt{2}$ по току
• Считать, что вольтметр показывает максимум: стрелочные и цифровые приборы градуируются в действующих значениях — осциллограф видит амплитуду, вольтметр — СКЗ
• Забывать про средневыпрямленное значение: простые выпрямительные вольтметры, проградуированные по нему, на несинусоидальных сигналах врут — у каждой формы волны свои коэффициенты
• Менять местами герцы и радианы в секунду: $f=50$ Гц — это $\omega =314$ рад/с, и не наоборот

Сдвиг фаз и векторные диаграммы#

Пусть ток и напряжение дрожат синусоидально, но не синхронно: $i=I_m\sin (\omega t+{\psi }_i)$, $u=U_m\sin (\omega t+{\psi }_u)$. Разность начальных фаз $\phi ={\psi }_u-{\psi }_i$ называется сдвигом фаз — и это важнейшее число всей теории цепей переменного тока. При $\phi =0$ кривые кивают друг другу в такт, при $\phi =90^{\circ }$ напряжение достигает максимума как раз тогда, когда ток проходит через ноль.

Считать синусы с разными фазами в каждой точке цепи — занятие на вечер. Инженеры поступают хитрее: синусоиду заменяют вращающимся вектором. Длина вектора — амплитуда, угол к горизонту в нулевой момент — начальная фаза, проекция на вертикаль при вращении с угловой скоростью $\omega$ воспроизводит саму синусоиду. Сдвиг фаз превращается в угол между векторами, и вместо тригонометрии остаётся геометрия — так рождается векторная диаграмма цепи. Эта картинка — мост между электротехникой и единичной окружностью: тот же вращающийся радиус, та же проекция. А складывать векторы удобнее всего комплексными числами — этому посвящён следующий урок.

1. 1
   Выберите масштаб: например, 1 см = 20 В для напряжений и 1 см = 1 А для токов — иначе диаграмма не влезет в лист
2. 2
   Проведите горизонтальную ось — это опорное направление, фаза ноль
3. 3
   Отложите вектор каждого напряжения под его начальной фазой: $30^{\circ }$ — против часовой от оси, минус $45^{\circ }$ — по часовой
4. 4
   Токи отложите своими векторами из того же начала; угол между вектором тока и вектором напряжения — и есть сдвиг фаз $\phi$
5. 5
   Сумма двух напряжений — диагональ параллелограмма на их векторах; проверьте, что длина диагонали сходится с расчётом по теореме косинусов

R, L и C в цепи синусоидального тока#

Три базовых элемента ведут себя по-разному, и это следствие их уравнений. Резистор: $u=Ri$ в каждый момент — напряжение и ток меняются синхронно, сдвиг фаз нулевой. Катушка: $u=Ldi/dt$ — напряжение пропорционально скорости изменения тока, а она опережает сам ток на четверть периода; значит, напряжение на катушке опережает ток на $90^{\circ }$. Конденсатор: $i=Cdu/dt$ — ток пропорционален скорости изменения напряжения, поэтому ток опережает напряжение на $90^{\circ }$ (а напряжение отстаёт).

Сопротивления катушки и конденсатора — их называют реактивным сопротивлением — зависят от частоты, и на этом построена вся фильтрация сигналов:

Прогоните числа: катушка $0,1$ Гн на сети даёт $X_L=314\cdot 0,1=31,4$ Ом, а на $5$ кГц — уже $3140$ Ом: катушка душит высокие частоты. Конденсатор $10$ мкФ наоборот: $318$ Ом на сети, $3,18$ Ом на $5$ кГц — он для высоких частот прозрачен. Мнемоника из двух слов: катушка — ВЧ-стена, конденсатор — НЧ-стена. Басы к низкочастотному динамику идут через катушку, пищалка питается через конденсатор — и это не вкусовщина, а прямое следствие двух формул.

Пара слов о частотах вне сети. Звуковая частота $1$ кГц — это период всего $1$ мс и $\omega =6280$ рад/с; радиочастота $100$ МГц — период $10$ наносекунд. Формулы $X_L=\omega L$ и $X_C=1/(\omega C)$ при этом не меняются, меняются только числа — и именно поэтому катушку на наногенри и конденсатор на пикофарады в радиоприёмнике считают теми же строками, что и обмотку мотора. Общий закон для неидеальных сигналов таков: $U=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{u}^{2}dt}$ — корень из среднего квадрата, и синусоида с её $\sqrt{2}$ — лишь частный случай этой общей нормы.

Мощность: мгновенная и средняя#

Мгновенная мощность — произведение мгновенных же значений: $p(t)=u(t)\cdot i(t)$. Для чистого резистора она пульсирует от нуля до максимума с удвоенной частотой $100$ Гц, но всегда положительна: энергия только течёт из сети в тепло. (Старые лампы накаливания, если присмотреться в темноте при повороте головы, чуть мерцают — вот эта самая пульсация.) При наличии сдвига фаз картина меняется: часть периода энергия уходит в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, а потом возвращается обратно в сеть. Средняя за период мощность:

Числовой пример. Потребитель тянет действующий ток $5$ А при $220$ В и сдвиге фаз $\phi =37^{\circ }$ ($\cos 37^{\circ }\approx 0,8$, $\sin 37^{\circ }=0,6$). Средняя мощность $P=220\cdot 5\cdot 0,8=880$ Вт. Полная $S=UI=1100$ ВА и реактивная $Q=UI\sin \phi =660$ вар в тепло не превращаются — энергия гоняется туда-сюда между сетью и магнитным полем мотора. Так возникает пара активной и реактивной мощности: первая греет и вращает, вторая лишь качается. Провода при этом нагружены всем током $5$ А, а не «полезными» четырьмя. Именно за это электросети штрафуют заводы и именно поэтому $\cos \phi$ повышают конденсаторами — но это сюжет третьего раздела курса.

Следующий логичный шаг — превратить векторную геометрию в алгебру: в уроке комплексный метод расчёта цепей синусоиды становятся комплексными числами, а закон Ома — одной строкой. Если хочется сначала увидеть, к чему приводит сложение трёх фаз, загляните в трёхфазные цепи, а физику генератора и индукции освежите в материалах электромагнитная индукция и переменный ток курса физики. Несинусоидальные формы — пилы, меандры, музыка — раскладываются в сумму синусов, как описано в уроке про ряды Фурье.