🎲 Тервер

Среднеквадратическое отклонение

Q: Может ли σ быть отрицательной?

Нет: это корень из неотрицательного числа. Минимум $\sigma = 0$ — все значения совпали. Максимум для ограниченного набора — половина размаха: разбросанность данных не может превышать их ширину пополам.

англ. Standard deviation

Корень из дисперсии: типичный рывок данных вокруг среднего в тех же единицах, что и сами данные. σ — «шаг» случайности.

Среднеквадратическое отклонение ( $σ$ , оно же стандартное) — это «типичный рывок» данных вокруг среднего. Средняя зарплата в двух компаниях может совпадать до копейки, но в одной все получают поровну, а в другой — директор и стажёры. Различие покажет не среднее, а разброс: дисперсия меряет его в квадратных единицах, а корень возвращает нас к рублям, килограммам и дециметрам.

σ = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}

корень из среднего квадрата отклонения; для выборки вместо 1/n берут 1/(n−1)

Считаем руками. Восемь растений, высота в дециметрах: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Среднее: $(2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) /8 = 40/8 = 5$ . Отклонения: $- 3, - 1, - 1, - 1, 0, 0, 2, 4$ . Квадраты: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 — сумма 32. Дисперсия $32/8 = 4$ , значит $σ = 4 = 2$ дециметра. Проверьте на глаз: типичное растение и правда отклоняется от пяти примерно на два деления.

σ для набора {2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9} — за пять шагов

Открывай шаги

Сначала попробуйте сделать шаг сами, потом открывайте и сверяйтесь. За полный проход начисляется XP.

Почему для выборки делят на $n - 1$ ? Выборочное среднее $\overset{x}{ˉ}$ подстроено под те же данные и «съедает» одну степень свободы, из-за чего $σ$ выходит чуть заниженной — поправка Бесселя чинит смещение. Правило простое: считаете по всей совокупности — делите на $n$ , по выборке из неё — на $n - 1$ .

Зачем это всё? $σ$ — валюта, в которой измеряют случайность. Правило трёх сигм для нормального распределения: 68% значений в пределах $\pm σ$ , 95% — $\pm 2 σ$ , 99.7% — $\pm 3 σ$ . Доверительные интервалы строятся как $\overset{x}{ˉ} \pm z \cdot σ / n$ , а контроль качества заводов — на тех же сигмах. Формулы — в шпаргалке по вероятностям, полный разбор характеристик — в уроке матожидание и дисперсия, оценки по выборке — в уроке выборка и оценки.

Частые вопросы

Чем σ отличается от дисперсии?

Дисперсия — средний квадрат отклонения, σ — корень из неё. Дисперсия удобна в формулах (квадраты складываются красиво), σ — для разговора с людьми: она в тех же единицах, что и данные. Зарплатный отдел говорит в рублях σ, а не в «квадратных рублях».

Когда делить на n, а когда на n−1?

По всей совокупности (перечислили всех без пропусков) — на $n$ . По выборке, чтобы оценить совокупность, — на $n - 1$ : выборочное среднее уже подогнано под данные, и без поправки оценка разброса занижается. При больших $n$ разница тает.

Может ли σ быть отрицательной?

Нет: это корень из неотрицательного числа. Минимум $σ = 0$ — все значения совпали. Максимум для ограниченного набора — половина размаха: разбросанность данных не может превышать их ширину пополам.

Что означает правило трёх сигм?

Для нормального распределения почти все значения (99.7%) лежат в пределах $\pm 3 σ$ от среднего. Если деталь отклонилась от номинала на пять сигм — это уже не случайность, а сигнал: ищите поломку в станке, а не списывайте на разброс.