🎲 Тервер

Выборочная дисперсия

англ. Sample variance

Мера разброса выборки вокруг среднего: D = (1/n)Σ(Xᵢ − X̄)². Версия с делителем n − 1 называется исправленной и служит несмещённой оценкой генеральной дисперсии σ².

Среднее показывает, где центр, но молчит о разбросе. Выборочная дисперсия измеряет его: средний квадрат отклонений $D = \frac{1}{n} \sum (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}$ ; корень из неё — выборочное стандартное отклонение, в тех же единицах, что данные. Тонкость в делителе: версия с $1/ n$ — смещённая оценка, систематически занижающая $σ^{2}$ , ведь отклонения считаются от $\overset{ˉ}{X}$ , подогнанного под те же данные. Исправленная версия $S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}$ убирает смещение и стала стандартом для оценки генеральной дисперсии. Определения на месте — в уроке выборка и оценки, словарь — в статье дисперсия.

Считаем: пять деталей, отклонения веса от номинала в граммах: $- 2, - 1, 0, 1, 2$ . Среднее ноль, сумма квадратов $10$ . Выборочная дисперсия $10/5 = 2$ , исправленная $10/4 = 2, 5$ — при $n = 5$ разница в $20%$ существенна, при $n = 100$ поправка $n / (n - 1)$ даёт лишь один процент. Связь точная: $D = \frac{n - 1}{n} S^{2}$ . В калькуляторах и таблицах обе версии живут рядом — смотрите, какая отвечает на ваш вопрос: описать разброс конкретных чисел или оценить разброс производства. В терминах разброса дальше работает среднеквадратичное отклонение.

D = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}, S^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2} = \frac{n}{n - 1} D

выборочная и исправленная дисперсии; делитель n − 1 компенсирует то, что отклонения берутся от X̄, а не от μ

Частые вопросы

Почему делитель именно n − 1?

Выборочное среднее вычислено из тех же данных и «притянуто» к ним: точки в среднем ближе к своему $\overset{ˉ}{X}$ , чем к истинному $μ$ , и сумма квадратов выходит заниженной. Точный счёт даёт $E [\sum (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}] = (n - 1) σ^{2}$ , поэтому деление на $n - 1$ возвращает несмещённость. Любопытно, что если $μ$ известно заранее, несмещённая оценка требует делителя $n$ ; поправка существует лишь потому, что $μ$ пришлось подменить выборочным средним.

Какая версия нужна в задаче?

По назначению. Описать разброс конкретного набора чисел — берите делитель $n$ : это честное среднее квадратов для этих данных. Оценить дисперсию производства, строить доверительные интервалы, работать с критерием Стьюдента — только исправленную $S^{2}$ с делителем $n - 1$ : иначе интервалы выйдут зауженными, а $t$ -статистика завышенной. На больших выборках разница тает, но на контрольных из пяти–десяти деталей она стоит процента брака.