Условная вероятность и независимость: формулы и задачи

Утро. Прогноз обещал дождь с вероятностью 0,3, но вы выглядываете в окно — небо затянуло тучами. Обновлять ли оценку? Разумеется: тучи делают дождь правдоподобнее. Вероятности умеют обновляться под давлением новых фактов, и механизм этого обновления называется условной вероятностью. Это ключ ко всему, что будет дальше: формуле Байеса, схеме Бернулли и матстатистике.

Условная вероятность: сужаем мир#

Узнали, что событие $B$ произошло. Как теперь оценить шансы события $A$? Мир сжался: элементарными стали не все исходы, а только те, где случилось $B$. Внутри этого суженного мира смотрим, какая доля исходов даёт ещё и $A$. Отношение и есть условная вероятность:

Разберём на кубиках. Бросают два кубика, вам сообщают: сумма очков чётная. Какова вероятность, что сумма равна 8? Прямая вероятность была бы $5/36$ — пять пар дают восьмёрку. Но мир сузился: чётную сумму дают $18$ пар из $36$. Внутри них восьмёрку по-прежнему дают те же 5 пар (все они чётные). Итог: $P=5/18\approx 0,278$. Информация о чётности сделала восьмёрку вероятнее — как и должно быть.

Умножение: цепочки случайных событий#

Из определения условной вероятности тривиально следует правило умножения: $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)$. Звучит так: «вероятность, что случатся оба, равна вероятности первого события, умноженной на вероятность второго при условии, что первое случилось». Правило легко обобщается на цепочку: перемножаем вероятности вдоль пути, на каждом шаге обновляя условия.

Классика: из колоды в 36 карт без возвращения вытаскивают две. Каков шанс получить двух тузов? Первый туз — $4/36=1/9$. Второй при условии, что один туз уже ушёл: в колоде осталось 35 карт и 3 туза, то есть $3/35$. Перемножаем: $\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{35}=\frac{1}{105}\approx 0,0095$. Заметьте, как вторая дробь учитывает изменившийся мир — колода-то стала беднее.

А если карту возвращают в колоду и перемешивают? Тогда условия не меняются: оба раза $4/36$, и вероятность двух тузов $\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{81}\approx 0,0123$. Возвращение меняет модель, и ответ меняется вместе с ней — держите это в голове, когда читаете условие.

Независимость: когда информация бесполезна#

Событие $A$ не зависит от события $B$, если знание о $B$ ничего не меняет в оценке $A$: $P(A\mid B)=P(A)$. Подставив это в правило умножения, получаем симметричное определение, которое и пишут в учебниках:

Проверьте на монете и кубике: орёл на монете и шестёрка на кубике. $P=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$ — и честный подсчёт по 12 равновозможным парам «монета-кубик» даёт ровно столько. Монета не читает кубик, информация о нём бесполезна — формула это фиксирует.

Практическое следствие: для независимых событий вероятность «хотя бы одного» считается мгновенно. Два стрелка стреляют по мишени с вероятностями попадания $0,7$ и $0,8$ независимо. Оба промахнутся с шансом $0,3\cdot 0,2=0,06$; хотя бы одно попадание — $1-0,06=0,94$. Попробуйте посчитать то же напрямую через суммы — убедитесь, что через «противоположное» быстрее.

Дерево вероятностей#

Когда событий больше двух, удобно рисовать дерево: корень — старт, ветви первого уровня — исходы первого опыта, от каждого узла растут ветви второго опыта. Правила чтения просты: вдоль пути от корня к листу вероятности умножаются, между разными путями, ведущими к одному итогу, — складываются. Условные вероятности пишутся прямо на ветвях: с каждым шагом мир сужается, и это честно отражается в числах.

Дерево из интерактива выше: дождь идёт с вероятностью $0,3$ и мочит дорогу в 90 случаях из 100; без дождя дорога мокнет с вероятностью $0,15$ (поливальная машина, туман). Путь «дождь, потом мокро» весит $0,3\cdot 0,9=0,27$; путь «без дождя, но мокро» — $0,7\cdot 0,15=0,105$. Сложили — получили $0,375$: полная вероятность увидеть мокрую дорогу. А как теперь повернуть вычисление вспять и понять, шёл ли дождь, — тема следующего урока о формуле Байеса.

Классическая ловушка-парадокс, которую обожают преподаватели. В семье двое детей, рождения независимы, мальчик и девочка равновероятны. Известно: хотя бы один из детей — мальчик. Какова вероятность, что оба — мальчики? Интуиция упрямо отвечает «половина», и интуиция ошибается. Попробуйте решить сами, потом открывайте шаги.

1. 1
   Пространство исходов — пары в порядке рождения: ММ, МД, ДМ, ДД. Четыре равновозможных исхода.
2. 2
   Условие «хотя бы один мальчик» сужает мир до трёх исходов: ММ, МД, ДМ. Вариант ДД выбывает.
3. 3
   Внутри суженного мира благоприятный исход один — ММ.
4. 4
   Условная вероятность: $P(\text{два мальчика}\mid \text{есть мальчик})=1/3$, а вовсе не $1/2$. Информация «есть мальчик» изменила шансы — вот что значит «сузить мир».

Как прикинуть условную вероятность без формулы? Представьте тысячу повторений опыта — частотная интуиция творит чудеса. В задаче «дождь и дорога» из тысячи вечеров дождь будет в 300, и в 270 из них дорога мокрая; без дождя — 700 вечеров, из них мокрых 105. Всего мокрых дорог 375. Спрашиваем: среди этих 375 какая доля дождливая? $270/375=0,72$ — то же число, что дала формула, но теперь его видно глазами.

• Увидели «при условии» — делите: пересечение на вероятность условия.
• Условие сужает мир: знаменатель — размер суженного мира, числитель — его общая часть с A.
• Условия можно вкладывать: $P(B\mid A)$ от условия не освобождает, а уточняет его.
• Проверка симметрии: $P(A\mid B)$ и $P(B\mid A)$ обязаны быть разными, если $P(A)\ne P(B)$ — одинаковые значения означают, что где-то ошибка.