🎲 Тервер

Выборочное среднее

Q: Чем выборочное среднее отличается от генерального?

Генеральное среднее $\mu$ — фиксированное, хоть обычно и неизвестное, число по всей совокупности. Выборочное $\bar{X}$ — случайная величина, прыгающая от выборки к выборке. Судить о $\mu$ можно только через поведение $\bar{X}$: в среднем он в яблочке, типичный промах — $\sigma/\sqrt{n}$. Поэтому $\bar{X} = 101{,}2$ при $\sigma = 5$ и $n = 25$ — не приговор производству, а $103$ при $n = 100$ — уже повод для проверки: отклонение в шесть стандартных ошибок.

англ. Sample mean

Среднее арифметическое по выборке: X̄ = (X₁ + … + Xₙ)/n. Несмещённая и состоятельная оценка генерального среднего, разброс которой σ/√n задаёт точность любых выборочных выводов.

Взвесить все $100000$ деталей партии невозможно — берут выборку объёма $n$ и считают выборочное среднее $\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} \sum X_{i}$ . Это не просто «средняя температура по больнице», а случайная величина: новая выборка — новое значение. Свойства образцовые: $E \overset{ˉ}{X} = μ$ — попадает в яблочко в среднем, $D \overset{ˉ}{X} = σ^{2} / n$ — разброс тает с ростом данных, а по ЦПТ при больших $n$ оно почти нормально. На этих трёх строках стоит весь выборочный метод: доверительные интервалы, проверка гипотез о среднем, контроль качества. Систематика оценок — в уроке выборка и оценки.

Числовой пример: автомат фасует детали с номиналом $100$ г и $σ = 5$ г. Выборка $n = 25$ дала $\overset{ˉ}{X} = 101, 2$ г. Стандартная ошибка $σ / n = 1$ г, отклонение $1, 2$ ошибки: при нормальности это $P \approx 0, 23$ — заурядное колебание, повода останавливать линию нет. При $n = 100$ ошибка сжалась бы до $0, 5$ г, и то же отклонение стало бы $2, 4$ ошибки с шансом меньше $2%$ — уже сигнал. Одно и то же значение среднего означает разное при разном объёме данных; численный каркас этому дают доверительные интервалы.

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}, E \overset{ˉ}{X} = μ, D \overset{ˉ}{X} = \frac{σ ^{2}}{n}, σ_{\overset{ˉ}{X}} = \frac{σ}{n}

выборочное среднее и его точность: несмещённость, дисперсия σ²/n, стандартная ошибка σ/√n

Частые вопросы

Чем выборочное среднее отличается от генерального?

Генеральное среднее $μ$ — фиксированное, хоть обычно и неизвестное, число по всей совокупности. Выборочное $\overset{ˉ}{X}$ — случайная величина, прыгающая от выборки к выборке. Судить о $μ$ можно только через поведение $\overset{ˉ}{X}$ : в среднем он в яблочке, типичный промах — $σ / n$ . Поэтому $\overset{ˉ}{X} = 101, 2$ при $σ = 5$ и $n = 25$ — не приговор производству, а $103$ при $n = 100$ — уже повод для проверки: отклонение в шесть стандартных ошибок.

Почему среднее арифметическое, а не медиана?

Среднее математически удобно: линейно по данным, несмещено, его разброс известен точно ( $σ^{2} / n$ ), а ЦПТ дарит нормальность при больших $n$ . Медиана тоже характеризует центр и устойчивее к выбросам — на скошенных данных она порой лучше, но её теория тоньше. Для симметричных распределений обе оценки целились в одну точку. Практическое правило: среднее — по умолчанию; медиана — когда выбросы или перекос (доходы, сроки работ) искажают картину.