🎲 Тервер

Доверительный интервал

Q: Почему именно 1.96?

Это квантиль [нормального распределения](/terminy/normalnoe-raspredelenie/): центральные 95% площади под кривой лежат в пределах $\pm 1.96$ стандартных отклонений. Для 90% коэффициент $1.65$, для 99% — $2.58$.

Q: Как строить интервал для доли (процента)?

Та же логика: $\hat{p} \pm z\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$. Опрос «52% поддерживают, погрешность 3%» — это и есть доверительный интервал при $n \approx 1000$.

англ. Confidence interval

Интервал вида x̄ ± 1.96·σ/√n, который при многократном повторении выборок накрывает истинное среднее в 95% случаев.

Доверительный интервал — честная упаковка погрешности оценки. Выборочное среднее прыгает от выборки к выборке: замерили 100 деталей — получили 50 мм, взяли другие 100 — получили 50.4. Одно число без ошибки ничего не стоит; интервал показывает, насколько результат чувствителен к удаче выборки.

\overset{x}{ˉ} \pm z \frac{σ}{n}, z = 1.96 для 95%

интервал для среднего при известной σ

Числовой пример: $n = 100$ замеров, среднее $\overset{x}{ˉ} = 50$ , известна $σ = 10$ . Погрешность $1.96 \cdot \frac{10}{100} = 1.96$ , интервал $[48.04; 51.96]$ . Сравните с одним измерением — там разброс порядка $σ$ , десяток. Корень из $n$ в знаменателе — причина, почему усреднение работает.

Прочтение — главная ловушка темы. 95% означает не «вероятность, что параметр лежит в этом конкретном интервале», а «если повторять выборки много раз, в 95% построенных интервалов параметр окажется». Параметр фиксирован — случайны интервалы. Перепутать легко, а на экзамене это ровно тот вопрос, который отличает понимание от зубрёжки.

Чтобы сузить интервал вдвое, объём выборки нужно увеличить вчетверо: $n$ стоит под корнем. Это объясняет дороговизну клинических исследований и социологических опросов: каждый лишний знак после запятой оплачивается квадратично. Механика выборочных оценок разобрана в уроке про выборку и оценки.

Отработаем полный цикл. Завод взвешивает пачки: выборка $n = 64$ , среднее $\overset{x}{ˉ} = 500$ г, известна $σ = 8$ г. Погрешность $1.96 \cdot \frac{8}{64} = 1.96$ г, интервал $[498.04; 501.96]$ . Заявлять «ровно 500 граммов» без интервала — самообман; с интервалом отчёт честен. Если нужна погрешность уже, скажем, до одного грамма — переворачиваем формулу: $n = (\frac{1.96 \cdot 8}{1})^{2} \approx 246$ замеров. Планирование любого эксперимента начинается именно с такого расчёта: сначала решают, какая точность нужна, а потом считают объём выборки.

Три вопроса, которые задают на защите. Первый: почему корень из $n$ ? Потому что ошибки половины замеров в среднем компенсируют другую половину — усреднение гасит шум, и точность растёт как корень. Второй: можно ли доверять интервалу при маленькой выборке? Только с коэффициентом Стьюдента и честной оговоркой: при $n$ меньше десяти интервал такой широкий, что пользы от него немного. Третий: а если распределение не нормальное? При больших $n$ работает центральная предельная теорема — среднее всё равно ведёт себя как нормальное, и формула остаётся рабочей. Заученные ответы на эти три вопроса закрывают половину билетов по теме.

Частые вопросы

Почему именно 1.96?

Это квантиль нормального распределения: центральные 95% площади под кривой лежат в пределах $\pm 1.96$ стандартных отклонений. Для 90% коэффициент $1.65$ , для 99% — $2.58$ .

Как строить интервал для доли (процента)?

Та же логика: $\overset{p}{^} \pm z \frac{p ^ ( 1 - p ^ )}{n}$ . Опрос «52% поддерживают, погрешность 3%» — это и есть доверительный интервал при $n \approx 1000$ .