Математическое ожидание и дисперсия: формулы, смысл

Средняя зарплата в стране — одиннадцать тысяч условных единиц, и вы в шоке: у всех знакомых вдвое меньше. Разгадка в миллиардере, который поднял среднее. Одна характеристика — среднее — описала картину неточно. Нужна вторая: насколько значения разбросаны вокруг центра. Центр и разброс — это математическое ожидание и дисперсия, два числа, которыми сжато описывается любое распределение. В этом уроке научимся считать и, главное, чувствовать их.

Математическое ожидание: центр масс#

Пусть дискретная величина $X$ принимает значения $x_1,x_2,\dots$ с вероятностями $p_1,p_2,\dots$ из закона распределения. Математическим ожиданием называется взвешенное среднее:

Смысл взвешивания: значения, которые случаются чаще, тянут центр сильнее. Кубик: $M(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3,5$. Обратите внимание — ожидание может быть дробным, хотя сам кубик никогда не выпадает «три с половиной». Ожидание описывает не один опыт, а предел средних по многим опытам: бросайте кубик тысячу раз, и среднее выпавшего подберётся к $3,5$ (почему — закон больших чисел).

Физическая аналогия работает безотказно: представьте невесомый стержень, на отметках $x_i$ подвешены грузики веса $p_i$. Точка опоры, в которой стержень в равновесии, — это и есть $M(X)$. Для суммы кубиков грузики расставлены треугольником — центр окажется ровно в середине, на семи. Взвесьте сами: $M(X)=2\cdot \frac{1}{36}+3\cdot \frac{2}{36}+\cdots +12\cdot \frac{1}{36}=7$.

Свойства ожидания экономят время на экзамене. Константа выносится: $M(cX)=cM(X)$. Сдвиг просто добавляется: $M(X+c)=M(X)+c$. Сумма любых величин — даже зависимых! — ожидается аддитивно: $M(X+Y)=M(X)+M(Y)$. А вот с произведением осторожнее: $M(XY)=M(X)\cdot M(Y)$ верно только для независимых величин. Эта асимметрия — любимая ловушка экзаменаторов.

Дисперсия: мера разброса#

Две величины могут иметь одинаковый центр и вести себя совершенно по-разному: одна стабильно около центра, другая мечется. Измерить мечтания помогает дисперсия — средний квадрат отклонения от ожидания:

Почему квадрат, а не просто отклонение? Среднее отклонение $M(X-M(X))$ всегда ноль: минусы и плюсы гасят друг друга. Модуль справился бы с гашением, но с модулем неудобно считать, а квадрат и «убивает» знак, и даёт красивую алгебру. Расчётная формула, которую выводят раскрытием квадрата:

Считаем для кубика. Квадраты значений: $1,4,9,16,25,36$; их среднее $M(X^2)=91/6\approx 15,17$. Квадрат среднего: $3,5^2=12,25$. Разность: $D(X)=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}\approx 2,92$. Сигма: $\sqrt{2,92}\approx 1,71$ — кубик «мечется» примерно на 1,7 очка вокруг центра 3,5. Звучит честно.

Свойства дисперсии. Константа не разбрасывает: $D(X+c)=D(X)$ — сдвиг всего распределения целиком не меняет разброса. Масштаб входит в квадрат: $D(cX)=c^{2}D(X)$ — удвоили величину, разброс вырос вчетверо. Для независимых величин дисперсия суммы складывается: $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$. Заметьте контраст с ожиданием: там произведение требовало независимости, здесь — сумма.

Разбор: честна ли лотерея#

Билет стоит 150 рублей. Организатор обещает: с вероятностью $0,08$ выигрыш 500 рублей, с вероятностью $0,02$ — 5000 рублей, иначе ничего. Выгодна ли лотерея игроку? Откройте шаги и проверьте свою догадку — она у большинства одна и та же.

Та же арифметика объясняет, почему казино и страховые компании не разоряются: у каждой игры ожидание слегка смещено в их пользу, а миллионы испытаний делают средний результат предсказуемым. Для игрока отдельная партия — риск; для казино поток партий — бизнес.

Финальный штрих: сколько орлов ждать в $n$ бросках монеты? Каждый бросок — величина с $M=0,5$ и $D=0,25$. Аддитивность даёт $M(X)=n/2$, дисперсия независимых даёт $D(X)=n/4$. При $n=100$: ждать 50 орлов с разбросом $\sigma =5$. Эти две строчки — фундамент схемы Бернулли, к которой мы ещё вернёмся при обсуждении нормального приближения.

Прорешаем игру, где ожидание и дисперсия работают в паре. Вы платите за участие 30 рублей, затем бросаете кубик и получаете выигрыш $10X$ рублей, где $X$ — выпавшие очки. Чистый доход: $Y=10X-30$. Ожидание линейно, никаких условий не нужно: $M(Y)=10\cdot 3,5-30=5$ рублей. В среднем игра приносит плюс пять за партию.

1. 1
   Константы на дисперсию не влияют: $D(Y)=D(10X-30)=10^2\cdot D(X)$.
2. 2
   Дисперсия кубика посчитана в тексте: $D(X)=35/12\approx 2,92$.
3. 3
   Значит $D(Y)=100\cdot \frac{35}{12}=\frac{3500}{12}\approx 291,7$, сигма $\approx 17,1$ рубля.
4. 4
   Картина честная: средний выигрыш 5 рублей при разбросе $\pm 17$ — отдельные партии гуляют от −20 до +30, и только длинная серия проявит плюс пять.

Посмотрите на последнюю строку: ожидание скромное, а сигма втрое больше. Так выглядит «рискованный бизнес» в числах: большой разброс при маленьком центре означает, что судьба отдельной партии решается случайностью, а не статистикой. Таблица выше — готовый шаблон для вопроса «сравните две игры по риску»: сначала сравнивают ожидания, затем дисперсии.

• Ожидание линейно всегда: множители и сдвиги проходят внутрь без условий.
• Произведение ожиданий — привилегия независимых величин; для суммы условий нет.
• В дисперсии: сдвиг исчезает, множитель возводится в квадрат, суммы складываются только у независимых.
• Сигма — переводчик: возвращает разброс из «квадратных рублей» в рубли.
• Быстрая самопроверка: у вырожденной величины $X=c$ дисперсия обязана быть нулём.

Тот же аппарат объясняет тарифы. Страховая выплата при пожаре — 1 000 000 рублей, вероятность пожара за год — $0,02$. Ожидаемая выплата $M(X)=1000000\cdot 0,02=20000$ рублей — это «справедливая» цена полиса без прибыли. Страховщик добавляет нагрузку, скажем 30%, и продаёт за 26 000: небольшой плюс с каждого полиса, который на тысячах договоров превращается в предсказуемый доход. Клиент платит больше ожидаемого — но покупает не ожидание, а защиту от разоряющего единичного случая.

Линейные преобразования — полигон для свойств. Переводим температуру: $F=1,8C+32$. Пусть в городе зимой величина $C$ имеет $M=10$, $D=25$. Тогда $M(F)=1,8\cdot 10+32=50$, а $D(F)=1,8^2\cdot 25=81$, сигма $9$ градусов Фаренгейта. Множитель вошёл в квадрат, сдвиг испарился — ровно как обещают свойства. Сигма при этом тоже умножилась на $1,8$: разброс в девять фаренгейтовских градусов — это те же пять градусов Цельсия.

Два вопроса-ответа, которые любят на зачётах. У какой величины дисперсия равна нулю? Только у константы: никакой другой способ «не разбрасываться» невозможен. Что делает с дисперсией сдвиг $+c$? Ничего: переносим все значения вместе, расстояния между ними не меняются. Оба ответа держите наготове — их спрашивают первыми.