Дискретные случайные величины: закон распределения

Кассир в супермаркете хочет знать: сколько покупателей придёт в следующую минуту? Точно не узнает никто. Но можно заранее перечислить возможные значения — 0, 1, 2, 3 и так далее — и приписать каждому свою меру правдоподобия. Перечень значений с вероятностями — это и есть описание случайности, которым умеет пользоваться вся прикладная математика: от расчёта очередей до страховых тарифов. Такие «числовые кости судьбы» называют случайными величинами.

Случайная величина: число, назначенное случаю#

Формально случайная величина — это функция, которая каждому элементарному исходу опыта сопоставляет число. Бросили два кубика: пространство исходов — 36 пар, а случайная величина $X$ — сумма очков — превращает каждую пару в число от 2 до 12. Мы склеили богатый мир исходов в компактную числовую шкалу, потому что обычно важна именно она, а не то, какая пара кубиков выпала.

Если значения случайной величины можно перечислить — конечным или счётным списком — величина называется дискретной. Число орлов при трёх бросках: значения $0,1,2,3$. Номер билета в лотерее: конечный список. Число звонков в колл-центр за час: потенциально бесконечный, но всё ещё перечислимый список $0,1,2,\dots$ — тоже дискретная величина. Величинам с непрерывной шкалой (рост, время, температура) посвящён отдельный урок — там нужны интегралы.

Закон распределения: главный документ величины#

Знать дискретную величину — значит знать не только её значения, но и вероятности каждого значения. Этот список называют законом распределения (или рядом распределения) и обычно рисуют таблицей:

К таблице два жёстких требования. Во-первых, все $p_i$ лежат на отрезке $[0,1]$ — отрицательных вероятностей не бывает. Во-вторых, выполняется условие нормировки:

Логика проста: в каждом опыте величина принимает ровно одно значение, значит «какое-нибудь значение» — событие достоверное. Если ваша таблица не сходится в единицу, вы либо потеряли значение, либо ошиблись в вероятности. Проверяйте условие нормировки первым делом — это мгновенный тест на опечатку.

Таблица побогаче — закон распределения суммы очков на двух кубиках. Значений одиннадцать, а вероятности не равные: середина явно «тяжелее» краёв. Посчитано из 36 равновозможных пар:

Функция распределения: ступеньки#

Таблица удобна, но есть более универсальный инструмент — функция распределения $F(x)=P(X<x)$: вероятность того, что величина примет значение меньше данного. Она определена для любого $x$, не только для значений таблицы, и у любой случайной величины — дискретной или нет.

Для дискретной величины $F(x)$ растёт ступеньками: в каждой точке $x_i$ ступенька подскакивает на высоту $p_i$, между значениями функция постоянна. Возьмём монету из таблицы выше ($0\to 0,25$, $1\to 0,5$, $2\to 0,25$). Тогда $F(0,5)=P(X<0,5)=P(X=0)=0,25$; $F(1,5)=0,25+0,5=0,75$; $F(10)=1$ — всё, что меньше десяти, включает все исходы; $F(-3)=0$.

График закона распределения тоже имеет имя: точки $(x_i,p_i)$, соединённые отрезками, образуют многоугольник распределения. Для суммы кубиков он и правда похож на треугольник. Запомните саму картинку — она вернётся, когда будем сравнивать форму распределений у разных величин.

Зачем нужны таблицы вероятностей#

Закон распределения — это полный паспорт величины: из него извлекается всё остальное. Хотите вероятность «не больше одного орла»? Сложите клетки: $0,25+0,5=0,75$. Хотите «среднее значение»? Оно считается из тех же клеток и называется математическим ожиданием — центральной величиной следующего урока. Хотите понять, насколько значения разбросаны? Дисперсия, снова из клеток.

Пара терминов из словаря, чтобы вы понимали тексты задачников. Значение с самой большой вероятностью называют модой — у суммы кубиков это семёрка. А ещё распределения бывают симметричными (наша монета) и несимметричными (число покупателей в минуту: ноль может выпасть часто, а «минус пять» не бывает вовсе). Вся эта информация уже сидит в таблице — надо только уметь на неё смотреть.

Построим закон распределения с нуля — навык, который спрашивают в первой же задаче. Монету бросают трижды, $X$ — число орлов. Значения от 0 до 3, и вероятности считаются по цепочкам: ноль орлов — единственная цепочка РРР, $P=1/8$; один орёл — три цепочки (ОРР, РОР, РРО), $P=3/8$; два орла — снова три цепочки, $P=3/8$; три орла — ООО, $P=1/8$. Нормировка на месте: $\frac{1+3+3+1}{8}=1$.

Обратите внимание на форму: вероятности $1/8,3/8,3/8,1/8$ — это строка треугольника Паскаля, поделённая на восемь. Не случайно: число цепочек с $k$ орлами из трёх бросков — в точности $C_3^k$, и мы получили биномиальное распределение в миниатюре. С полным разбором оно вернётся в уроке о биномиальном и Пуассоне.

• Порядок построения закона: выписать значения → найти вероятность каждой клетки → проверить нормировку → и только потом отвечать на вопросы.
• Вероятности между значениями не делятся поровну: считайте цепочки исходов, а не «разделите на число значений».
• $F$ копит вероятности слева направо: каждая ступенька поднимается ровно на $p_i$ и дальше не опускается.
• Проверка $F$: стартует из нуля, заканчивает единицей, монотонно растёт. Иначе ищите ошибку в таблице.

Условие нормировки работает и в обратную сторону: если все вероятности, кроме одной, известны, последняя находится вычитанием. В таблице числа орлов при двух бросках известны первые две клетки: $P(0)=0,25$ и $P(1)=0,5$. Тогда $P(2)=1-0,75=0,25$ — без всякого перебора цепочек. Тот же приём спасает в бесконечных законах: там, где сумма ряда считается тяжело, недостающую вероятность часто проще вычесть, чем собрать.

И ещё один приём чтения $F$: между ступеньками она постоянна, поэтому вопрос «чему равно $F(2,7)$?» решается взглядом — ищем последнюю ступеньку левее точки. Для числа орлов при трёх бросках $F(2,7)=F(2)=0,5$. К этой механике мы ещё вернёмся при сравнении со сплошной кривой непрерывных величин — там никаких ступенек не будет.