Непрерывные случайные величины: плотность распределения

Электричка подходит к станции «в течение десяти минут». Вы пришли на платформу в случайный момент. Какова вероятность ждать ровно 4 минуты 26,837… секунд? Ноль. Не «почти ноль», а в точности ноль: мгновений на десяти минутах несчётное множество, и одно конкретное из них ничего не весит. Зато вероятность ждать от 4 до 5 минут — вполне живое число. Чтобы работать с такими величинами, таблицу значений придётся заменить на кривую — плотность распределения.

Плотность: вероятность на единицу длины#

Величина $X$ называется непрерывной, если её значения заполняют сплошной промежуток — время ожидания, расстояние, температура. Вероятности отдельных точек тут всегда ноль, поэтому описывают вероятности попадания в интервалы. Делает это функция $f(x)$ — плотность распределения:

Читается буквально: вероятность нарезается площадью. Плотность — родственница обычной физической плотности: масса стержня на отрезке равна интегралу плотности по отрезку; вероятность на интервале — интеграл плотности вероятности. Само значение $f(c)$ вероятностью не является: это «вероятность на единицу длины» вблизи точки $c$, и у неё даже нет ограничения «не больше единицы» — ограничение накладывается на площадь, а не на высоту.

Парадокс нулевой вероятности стоит проговорить дважды. «Вероятность ноль» в непрерывном мире не равна «невозможно». Игла, воткнутая в стержень, попадает в точку с нулевой вероятностью — и всё же куда-то попадает. События с нулевой вероятностью случаются, просто их вероятность измеряется не точкой, а площадью. У дискретных величин такого эффекта нет: там каждая клетка таблицы весит честно.

Функция распределения: накопленная площадь#

Как и у дискретных величин, у непрерывных есть функция распределения $F(x)=P(X<x)$. Только теперь она считается интегралом плотности от минус бесконечности до $x$ — накопленная площадь слева:

Никаких ступенек: для непрерывной величины $F$ растёт гладко от нуля до единицы. Там, где плотность высокая, $F$ крутая; где плотность ноль, $F$ ползёт горизонтально. Считать вероятности через $F$ удобно по формуле $P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$ — площадь между двумя вертикалями.

Равномерное распределение: идеальный таймер#

Простейшая непрерывная модель: величина равновозможно попадает в отрезок $[a,b]$ — так ведёт себя идеальный таймер или «случайный момент» внутри окна. Плотность обязана быть постоянной и давать полную площадь единица, поэтому:

Электричка подходит в течение 10 минут, вы приходите в случайный момент. Равномерное распределение на $[0,10]$: ожидание ожидания — $5$ минут, дисперсия $100/12\approx 8,33$, сигма $\approx 2,89$ минуты. Вероятность ждать меньше трёх минут: площадь прямоугольника $3\cdot \frac{1}{10}=0,3$. Всё считается без таблиц — геометрией прямоугольника.

Показательное распределение: время до события#

Сколько проработает лампочка? Когда придёт следующий звонок? Модели «время до первого события» отвечает показательное (экспоненциальное) распределение с параметром $\lambda >0$:

Формула $P(X>t)=e^{-\lambda t}$ — рабочая лошадка задач про надёжность. Пусть среднее время между звонками в колл-центре — 2 минуты, то есть $\lambda =0,5$ (минут)⁻¹. Вероятность, что тишина продержится больше двух минут: $e^{-1}\approx 0,368$. Больше пяти минут: $e^{-2,5}\approx 0,082$. Хвост убывает быстро, но никогда не обнуляется.

Забавная деталь: у показательного распределения есть свойство отсутствия памяти. Лампочка уже горит час — вероятность прожить ещё два часа та же, что у новой. $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$ — память о прошедшем времени не влияет на будущее. Для техники это плохо (не стареет — значит, отказы внезапны), для математики — красиво.

Разберём плотность «с нуля до дисперсии» — полный маршрут, который спрашивают в задачах. Пусть $f(x)=3x^2$ при $x\in [0,1]$ и ноль вне отрезка. Сначала проверка легальности: ${\int }_0^{1}3x^{2}dx=x^3{|}_0^1=1$ — нормировка выполнена, перед нами настоящая плотность. Далее функция распределения: $F(x)={\int }_0^{x}3t^{2}dt=x^3$ на отрезке.

Почему начинаем с нормировки? Если интеграл не равен единице, перед вами не плотность, а «просто кривая», и все площади будут враньём. Такая проверка занимает одну строку и спасает от целого решения на чужих условиях. В задачниках часто дают функцию с буквенным коэффициентом $k$: сначала найдите $k$ из нормировки, потом идите за вероятностями.

1. 1
   Вероятность интервала: $P(0,5<X<1)=F(1)-F(0,5)=1-0,125=0,875$.
2. 2
   Ожидание: $M(X)={\int }_0^{1}x\cdot 3x^{2}dx=3\cdot \frac{1}{4}=0,75$.
3. 3
   Средний квадрат: $M(X^2)={\int }_0^1{x}^2\cdot 3x^{2}dx=3\cdot \frac{1}{5}=0,6$.
4. 4
   Дисперсия: $D(X)=0,6-0,75^2=0,6-0,5625=0,0375$, сигма $\approx 0,19$.
5. 5
   Заметьте: центр смещён вправо, к $0,75$ из возможного отрезка $[0,1]$ — плотность $3x^2$ растёт к единице и «прижимает» значения вправо.

• Три проверки плотности: неотрицательность, нормировка — и лишь затем счёт вероятностей.
• $F$ — накопитель: растёт от 0 до 1, а плотность — его производная.
• У равномерного распределения считайте геометрией: вероятность пропорциональна длине.
• У показательного помните хвост $P(X>t)=e^{-\lambda t}$ — он закрывает половину задач про надёжность.

Медиана ищется из уравнения $F(m)=0,5$ — точка, делящая площадь пополам. Для нашей плотности $3x^2$: $m^3=0,5$, значит $m=0,5^{1/3}\approx 0,794$. Сравните с ожиданием $0,75$: медиана правее, потому что распределение скошено влево — длинный левый хвост около нуля тянет среднее вниз. Расхождение медианы и ожидания — быстрый тест на перекос; у симметричных распределений они совпадают.

Показательное распределение — ближайший родственник пуассоновского потока: если события приходят в среднем $\lambda$ раз в минуту, то время между ними показательно с тем же $\lambda$. Согласуйте примеры: звонки с интенсивностью $0,5$ в минуту и вероятность тишины дольше двух минут $e^{-1}\approx 0,368$ — это в точности вероятность нуля событий за две минуты. Связка «Пуассон для счёта, экспонента для ожидания» закрывает целый класс задач про очереди и надёжность.

Геометрия помогает и при сравнении разбросов. Возьмём две величины на одном отрезке $[0,1]$: равномерную и нашу с плотностью $3x^2$. У равномерной $D=1/12\approx 0,083$, сигма $\approx 0,29$; у второй $D=0,0375$, сигма $\approx 0,19$. Числа говорят: плотность $3x^2$ сосредоточеннее, «мечется» меньше — потому что её масса прижата к правому краю, а не размазана по всему отрезку. Сравнение дисперсий — честный способ судить о «кучности» двух моделей без картинок.

Быстрая самопроверка перед задачами. Закройте текст и ответьте на три вопроса: чем плотность отличается от вероятности? почему у равномерного распределения на $[0,10]$ шанс любого интервала пропорционален его длине? что значит «показательное распределение не помнит прошлого»? Если все три ответа пришли мгновенно, материал собран в кучу. Если нет — вернитесь на шаг к дискретным случайным величинам и сверьте словарь: там те же вопросы стоят для таблиц, и сравнение двух соседних уроков помогает лучше любой зубрёжки.