Условная вероятность

Условная вероятность отвечает на вопрос: как меняется шанс, если мир сузился? Бросили две монеты, но сосед успел прошептать: «первая — орёл». Вопрос «какова вероятность двух орлов» уже устарел: часть вселенной исходов отпала, и в оставшейся половине два орла встречаются в четверти случаев, а не в одной из восьми. Информация перекраивает шансы — и делает это по строгому правилу.

Кубик: событие $B$ — «выпало чётное» (исходы 2, 4, 6), событие $A$ — «выпала шестёрка». Без условий $P(A)=1/6$. Но внутри $B$ остались три равноправных исхода, и шестёрка среди них одна: $P(A\mid B)=(1/6)/(1/2)=1/3$. Знание «выпало чётное» утроило шанс шестёрки — вот что значит «сузить мир».

Из определения вырастает правило умножения: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$. Урна: 3 красных и 2 синих шара, тянем два подряд без возврата. Шанс второго красного при условии, что первый красный, — 2 из 4, то есть 1/2. А безусловный шанс второго красного — 3/5: $0.6\cdot 0.5+0.4\cdot 0.75=0.3+0.3=0.6$. Условие режет дерево ветки (см. дерево), но по всем ветвям в среднем ничего не меняет.

Условная вероятность — рабочая лошадка всей теории: на ней стоят умножение, полная вероятность и формула Байеса, которая переворачивает условие. Для независимых событий всё складывается проще: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ — и именно поэтому ожидание суммы и произведения в математическом ожидании распадается на удобные куски. Набить руку — в тренажёре вероятности, конспект формул — в шпаргалке, полный урок с деревьями — условная вероятность и независимость.