🎲 Тервер

Центральная предельная теорема

англ. Central limit theorem

Сумма многих независимых случайных величин распределена приблизительно нормально — независимо от того, как распределены слагаемые. Главный источник нормальности в природе.

Почему рост человека, погрешность измерения и итог экзамена описываются одной и той же колоколообразной кривой? Ответ даёт центральная предельная теорема (ЦПТ) — самая цитируемая теорема теории вероятностей. Она утверждает: если сложить много независимых случайных величин, каждая из которых вносит малый вклад, распределение суммы будет близко к нормальному — каким бы странным ни было распределение слагаемых. Нормальность не задана природой, она возникает как предельный закон накопления малых эффектов.

\frac{S _{n} - n μ}{n σ} n \to \infty N (0, 1)

стандартизованная сумма

S_{n}

независимых одинаково распределённых величин сходится к стандартному нормальному распределению (

μ

σ

— ожидание и СКО одного слагаемого)

Практическая формулировка: сумма $S_{n}$ имеет приближённо нормальное распределение с ожиданием $n μ$ и дисперсией $n σ^{2}$ — уже при $n \approx 30$ (классическое «правило 30») точность обычно достаточна для инженерных расчётов. Пример: монета. Одно бросание — распределение Бернулли, совсем не нормальное. Но сумма $n = 100$ бросаний уже отлично описывается нормальной кривой с $m u = 50$ и $s i g ma = 5$ : вероятность получить от 45 до 55 орлов считается по нормальной таблице, без биномиальных сумм. Именно так поступают в реальных расчётах: точный биномиальный ответ $\approx 0.7287$ , нормальное приближение с поправкой непрерывности даёт $0.7286$ .

Карточки: ЦПТ без зубрёжки

Знаю: 0/5

Кликните карточку, чтобы перевернуть. Отмечайте выученное — счётчик в шапке покажет прогресс.

1 / 5

Что утверждает ЦПТ?

ЦПТ — фундамент всей математической статистики: доверительные интервалы и проверка гипотез опираются на нормальность выборочного среднего — а она есть не потому, что данные нормальны, а потому, что среднее — это сумма. То же работает в промышленном контроле качества (контрольные карты Шухарта), в измерительной технике (суммарная погрешность), в A/B-тестировании. Лучший способ поверить — увидеть своими глазами: симулятор нормального распределения и урок закон больших чисел покажут сходимость вживую; формулы для расчётов — в шпаргалке по статистике.

Частые вопросы

Почему сумма стремится именно к нормальному распределению?

Ключевая причина — «никто не доминирует»: при нормировке на √n вклад любого отдельного слагаемого исчезает, и в пределе остаются только коллективные эффекты. Нормальное распределение — единственный возможный предел для сумм с конечной дисперсией; если же дисперсии бесконечны (тяжёлые хвосты), пределом становятся устойчивые распределения Леви — вот почему финансовые ряды не нормальны.

ЦПТ говорит о сумме, а я слышал про среднее. Кто прав?

Оба. Выборочное среднее — это сумма, делённая на n: $ar{X} = S_n/n$ . Деление на константу меняет масштаб (ожидание $m u$ , дисперсия $s i g m a^{2} / n$ ), но не форму распределения, поэтому ЦПТ автоматически описывает и среднее: $ar{X} \approx \mathcal{N}(mu, sigma^2/n)$ — это и есть рабочая формула статистики.

Можно ли применять ЦПТ, если слагаемые не одинаково распределены?

Да, в форме Линдеберга: сумма независимых величин с разными распределениями всё равно нормальна при малости вкладов. Интуиция та же: пока ни один источник шума не dominates, форма суммы забывает детали. На практике это оправдывает нормальное приближение для сумм разнородных эффектов — погрешностей приборов, разбросов деталей, разных факторов экзаменационной оценки.