Комплексный метод расчёта цепей переменного тока с примерами

Попробуйте в лоб посчитать цепочку из резистора, катушки и конденсатора под синусоидальным напряжением: ток найдётся из суммы трёх слагаемых, одно из которых — производная синуса, второе — его интеграл, и всё это надо сложить и разрешить относительно амплитуды и фазы. Тригонометрический ад, из которого в 1893 году Чарльз Штейнмец вывел американскую электротехнику, предложив заменить синусоиды комплексными числами. Идея окупилась мгновенно: расчёт цепи переменного тока свёлся к закону Ома со «школьной» арифметикой.

Зачем электрикам комплексные числа#

Ключевое свойство линейной цепи: подайте на неё синусоиду частоты $f$ — все токи и напряжения в ней останутся синусоидами той же частоты. Частота фиксирована, и следить остаётся только за двумя числами: амплитудой и фазой. А пара «амплитуда + фаза» — это в точности полярная запись комплексного числа. Синусоида сворачивается в одну точку комплексной плоскости, и вся электродинамика переменного тока превращается в алгебру. Такой приём расчёта называют методом комплексных амплитуд.

Мост между синусом и экспонентой — формула Эйлера $e^{j\psi }=\cos \psi +j\sin \psi$ (для чего это устроено именно так — отдельная красивая история в статье формула Эйлера). Мнимую единицу в электротехнике пишут как $j$, потому что буква $i$ давно занята током — не пугайтесь, это та же математика, что в уроке про комплексные числа.

• Синусоиду $A_m\sin (\omega t+\psi )$ заменяем комплексным числом с модулем $A_m$ и аргументом $\psi$ — частота $\omega$ выносится за скобки расчёта
• Производные и интегралы синусов превращаются в умножение и деление на $j\omega$ — дифференциальные уравнения цепи становятся алгебраическими
• Сложение колебаний с разными фазами становится сложением векторов — прямые углы и теорема Пифагора вместо громоздких формул

В учебниках метод встречается под вторым именем — символический: синусоиды заменяются символами-векторами, а время исчезает из уравнений. Полезная деталь для самопроверки: если в задаче все элементы — резисторы, ответ обязан выйти чисто вещественным числом; как только в ответе у резисторной цепи появилась мнимая часть, вы где-то поставили лишний поворот на 90 градусов.

Комплексная амплитуда: целая синусоида в одном числе#

Ток $i(t)=I_m\sin (\omega t+{\psi }_i)$ представляется комплексной амплитудой ${\dot{I}}_m=I_m{e}^{j{\psi }_i}$: модуль — амплитуда, аргумент — начальная фаза. Сама синусоида восстанавливается обратным ходом: возьмите мнимую часть от ${\dot{I}}_m{e}^{j\omega t}$ — и получите исходный $i(t)$. Расчёты же ведут с действующими значениями, делёнными на $\sqrt{2}$: их обозначают точкой сверху, $\dot{I}={\dot{I}}_m/\sqrt{2}$, и именно они идут в ватты и в приборы.

Мини-пример на перевод. Дано $i=14,1\sin (314t+30^{\circ })$ А. Комплексная амплитуда ${\dot{I}}_m=14,1\angle 30^{\circ }$ А, действующий вектор $\dot{I}=14,1/\sqrt{2}\angle 30^{\circ }=10\angle 30^{\circ }$ А. Обратно: модуль 10 умножить на $\sqrt{2}$, взять синус аргумента с частотой 314 — синусоида вернулась целиком. Вектор $10\angle 30^{\circ }$ в алгебраической форме: $10\cos 30^{\circ }+j10\sin 30^{\circ }=8,66+j5$ А — обе формы живут в шпаргалке по комплексным числам.

Комплексные сопротивления: Z = R + jX#

Теперь элементы. Отношение комплексного напряжения к комплексному току называется комплексным сопротивлением $Z$ — и для трёх базовых элементов оно записывается в одну строку:

Множитель $j$ — это поворот на $90^{\circ }$: умножили на $j$ — вектор повернулся против часовой стрелки на четверть оборота. Поэтому катушка с $Z_L=j\omega L$ даёт напряжение, повернутое на $+90^{\circ }$ относительно тока, а конденсатор — на $-90^{\circ }$. Для последовательного соединения сопротивления просто складываются, как числа:

Закон Ома и правила Кирхгофа в комплексной форме#

Вся приятность метода — в том, что старые законы возвращаются почти без изменений. Закон Ома для участка цепи переменного тока: $\dot{I}=\dot{U}/Z$. Первый закон Кирхгофа: $\sum {\dot{I}}_k=0$ — сумма комплексных токов в узле равна нулю. Второй закон Кирхгофа: $\sum {\dot{E}}_k=\sum {\dot{I}}_m{Z}_m$ — сумма комплексных ЭДС контура равна сумме падений на импедансах. Формулы выглядят как постоянный ток из урока цепи постоянного тока, только буквы в точках и вместо $R$ всюду $Z$ — правила Кирхгофа работают без поправок, ведь они следуют из сохранения заряда и энергии, а те фаз не знают.

Откуда берутся фазовые сдвиги, которые на постоянном токе даже не возникали? Из мнимых частей: деление на $j$ (то есть на $e^{j90^{\circ }}$) проворачивает вектор тока относительно напряжения. Делите $\dot{U}$ на чисто мнимое $j{X}_L$ — ток выходит под углом $-90^{\circ }$ к напряжению, как и положено на катушке. Никаких отдельных правил запоминать не надо: арифметика комплексных чисел делает повороты сама. Приёмы перевода между формами и формула Муавра разобраны в уроке формы записи комплексных чисел, а термин комплексное число — в словаре.

Алгоритм расчёта любой цепи комплексным методом

• Перевести все ЭДС и источники в комплексные действующие значения: $\dot{E}=E\angle {\psi }_e$
• Пересчитать все элементы в импедансы: $R$, $j\omega L$, $-j/(\omega C)$ при одной и той же частоте $\omega$
• Свернуть схему к одному импедансу (последовательные складываются, параллельные — через проводимости $Y=1/Z$) либо составить уравнения Кирхгофа
• Найти токи: $\dot{I}=\dot{U}/Z$ или решение системы; при желании перевести ответ в амплитуды умножением на $\sqrt{2}$
• Построить векторную диаграмму и проверить баланс мощностей: $P=\sum I^{2}R$, $Q=\sum I^{2}X$ — расхождение означает арифметическую ошибку

Параллельные цепи: комплексная проводимость

Для параллельного соединения удобнее не сопротивление, а обратная ему комплексная проводимость $Y=1/Z=G-jB$, измеряемая в сименсах. Здесь $G$ — активная проводимость, $B$ — реактивная. Проводимости параллельных ветвей складываются, как проводимости на постоянном токе: катушка даёт $Y_L=1/(j\omega L)=-j/(\omega L)$, конденсатор $Y_C=j\omega C$. Сравните с последовательным случаем: там реактивности складывались с плюсом у катушки, здесь — с минусом. Это не новая физика, а та же арифметика, записанная через $1/j=-j$.

Типовой расчёт: резистор $30$ Ом и катушка с $X_L=40$ Ом параллельно под $\dot{U}=120\angle 0^{\circ }$ В. Ток резистора ${\dot{I}}_R=120/30=4\angle 0^{\circ }$ А, ток катушки ${\dot{I}}_L=120/(j40)=-j3=3\angle -90^{\circ }$ А. Складываем: $\dot{I}=4-j3=5\angle -36,9^{\circ }$ А — полный ток меньше тока резистора по модулю быть не может, и он действительно больше (5 > 4), но меньше арифметической суммы 7 А: векторы складываются геометрически, катушечные $-j3$ частично гасятся резисторной осью. Полная проводимость $Y=1/30-j/40$, и $|Y|=\sqrt{(1/30{)}^2+(1/40{)}^2}=1/24$ — модуль эквивалентного сопротивления выходит $24$ Ом, меньше меньшей из ветвей, как и положено параллельному соединению.

Полный пример: цепочка R-L-C при 50 Гц#

Соберём метод целиком. К сети $50$ Гц подключены последовательно: резистор $R=30$ Ом, катушка $L=0,19$ Гн и конденсатор $C=160$ мкФ. Ток в цепи — действующий $2$ А. Найдём импеданс, напряжения на всех элементах и построим векторную диаграмму.

Заметьте: на катушке действует $120$ В при том, что источник даёт лишь $100$ В — напряжения на реактивных элементах складываются не арифметически, а геометрически, и по отдельности легко превышают входное. Кто сложил $60+120-40=140$ В и не понял, откуда взялась сотня, — тот ещё не поверил в векторы. А посмотрите, как это выглядит в лобовой тригонометрии: $u(t)=141\sin (314t+53^{\circ })$, $i(t)=2,83\sin (314t)$ — и производные, и интегралы, и сумма трёх гармоник. Комплексный метод сжал всё это в шесть коротких строк.

Активная, реактивная и полная мощности: треугольник и cos φ#

Мощности в комплексной записи образуют свой треугольник. Активная мощность $P=UI\cos \phi =I^{2}R$ — то, что превратилось в тепло и работу, измеряется в ваттах. Реактивная $Q=UI\sin \phi =I^{2}X$ — то, что качается между источником и полями катушки и конденсатора, единица — вар. Полная $S=UI=\sqrt{P^2+Q^2}$ — то, на что реально нагружены провода и трансформаторы, единица — ВА. Для нашего примера: $P=2^2\cdot 30=120$ Вт, $Q=2^2\cdot 40=160$ вар, $S=100\cdot 2=200$ ВА, и проверка $\sqrt{120^2+160^2}=200$ сходится.

Коэффициент мощности $\cos \phi =P/S$ показывает, какая доля полной мощности — полезная. При $\cos \phi =0,6$, как в примере, провода пропускают ток в $1/0,6\approx 1,67$ раза больше, чем нужно для той же полезной работы, а потери на нагрев растут квадратично — в $1,67^2\approx 2,8$ раза. Живой расчёт: мотор на $10$ кВт при $380$ В и $\cos \phi =0,7$ тянет $I=10000/(380\cdot 0,7)\approx 37,6$ А. После компенсации конденсаторной батареей до $0,95$ — уже $27,7$ А, и потери в кабеле падают почти вдвое.

Именно поэтому энергосбыты платят предприятиям за повышение $\cos \phi$, а у моторов ставят параллельные конденсаторы: их опережающий ток гасит отстающий ток обмоток, реактивная составляющая в магистральном проводе уменьшается, и цепь со стороны сети выглядит почти чистым резистором. То же самое, но с обратным знаком, проделывают на подстанциях, где длинные кабели сами по себе — большая ёмкость: там компенсируют уже катушками. Задача одна — загнать $\phi$ к нулю.

Почему у реактивных мощностей свои единицы — вар и ВА, а не привычные ватты? Не бюрократия, а защита от путаницы: ватт всегда можно выставить в счёт за реальную энергию, а вар — это пульсация, которая нагружает провода, но не крутит счётчик энергии на предприятии потребителя. Каталожные данные моторов поэтому пишут именно в ВА и с указанием $\cos \phi$: трансформатор, питающий нагрузку, обязан держать полную мощность, а не только полезную. О том, как реактивность управляется с частотой и что происходит, когда она обращается в ноль, — следующий урок.

Куда двигаться: в уроке резонанс в электрических цепях мнимая часть импеданса впервые обнуляется — и на этом эффекте построен радиоприём. Если хочется увидеть комплексную арифметику в полную силу, перейдите к трёхфазным цепям: там векторы вращаются тройками. Математическую базу за один вечер освежите по разбору как решать комплексные числа, а физическую сторону синусоид — в уроке переменный ток курса физики.