🔌 Электротехника35 минСложность 3/5+60 XP

Цепи постоянного тока: закон Ома и правила Кирхгофа с примерами

Как собрать уравнения Кирхгофа для цепи с двумя источниками, выбрать знаки при обходе контура, свернуть схему звезда–треугольник и сойтись балансом мощностей.

3 интерактива3 квизаУрок 1 из 10Обновлено 04.10.2026

Прикуриваете соседнюю машину: два аккумулятора, провода, стартер — и всё это одна цепь с двумя источниками. Ни закон Ома для одного участка, ни параллельные формулы сами по себе тут уже не спасают: токи ветвятся, источники тянут каждый в свою сторону. Именно для таких схем в 1845 году Густав Кирхгоф сформулировал два правила, которые сводят любую цепь — от фонарика до подстанции — к системе алгебраических уравнений.

Из чего состоит цепь: ЭДС, резистор и внутреннее сопротивление#

Реальный источник — батарейка, аккумулятор, генератор — это два устройства в одном флаконе: идеальный источник ЭДС $E$ (сторонние силы переносят заряд против поля и совершают работу) и внутреннее сопротивление $r$ , рассеянное по электродам и электролиту. Всё остальное в цепи — резисторы с сопротивлением $R$ и провода, сопротивлением которых при аккуратном расчёте пренебрегают.

Закон Ома для участка цепи: ток пропорционален напряжению и обратно пропорционален сопротивлению — $I = U / R$ . Напряжение $U$ здесь — разность потенциалов между концами участка, ток $I$ идёт в амперах, сопротивление — в омах. А для полной цепи с источником закон Ома читается иначе:

I = \frac{E}{R + r}

E

— ЭДС источника (В),

R

— внешнее сопротивление (Ом),

r

— внутреннее сопротивление источника (Ом)

Числовой пример. Аккумулятор с $E = 12$ В и $r = 0, 1$ Ом питает нагрузку $R = 1, 1$ Ом. Ток $I = 12/ (1, 1 + 0, 1) = 10$ А. На внешней цепи падает $I \cdot R = 11$ В, внутри источника «сгорает» $I \cdot r = 1$ В. Напряжение на клеммах ( $11$ В) получилось меньше ЭДС — и это не дефект батарейки, а физика: чем больше ток, тем сильнее проседают клеммы. Если нагрузку закоротить, $R \to 0$ и ток ограничен только внутренним сопротивлением: $12/0, 1 = 120$ А. Вот почему короткое замыкание пережигает провода за секунды.

Первый закон Кирхгофа: узел — это перекрёсток токов#

Прежде чем писать уравнения, договоримся о словах. Ветвь — участок цепи с одним током через все элементы. Узел — точка, где сходятся три и более ветвей. Контур — замкнутый путь по ветвям схемы. Первый закон Кирхгофа говорит про узлы:

k \sum I_{k} = 0

алгебраическая сумма токов в узле равна нулю: входящие берут со знаком плюс, исходящие — минус

Физика за формулой простая: узел — не конденсатор, заряду в нём негде накапливаться. Сколько заряда втекает в точку за секунду, столько и вытекает. Если в узел входят токи $3$ А и $1$ А, а выходят два: $2$ А и $I_{x}$ — то $I_{x} = 2$ А. Закон одинаково работает и для пятиветвевой развязки на плате, и для развилки труб: вода не умеет исчезать.

Второй закон Кирхгофа: обход контура и выбор знаков#

Второй закон — про контуры, и это закон сохранения энергии, переписанный в вольтах:

k \sum E_{k} = m \sum I_{m} R_{m}

сумма ЭДС в замкнутом контуре равна сумме падений напряжения на сопротивлениях этого контура

Вся боль студента живёт в знаках, поэтому правило ровно одно и его не нарушают: выберите направление обхода контура (по часовой или против — неважно, лишь бы одинаково для всего контура) и двигайтесь по нему.

Ток ветви совпадает с направлением обхода — падение $I R$ входит со знаком плюс, против обхода — с минусом
Проходите источник от минуса к плюсу (внутри него) — его ЭДС входит со знаком плюс; от плюса к минусу — с минусом
Токи ветвей вы назначаете сами, до уравнений: стрелку можно нарисовать как угодно, ответ лишь выйдет с минусом — значит, реальный ток течёт против стрелки

Страшного минуса в ответе нет. Минус — это информация о направлении, а не ошибка. Контрольно: если по контуру с одним источником и несколькими резисторами пройтись вторым законом, получится обычный закон Ома для полной цепи — частный случай, в котором легко себя проверить.

Сколько всего писать уравнений? Уравнений узлов — на один меньше числа узлов (последний узел даёт сумму остальных, новое он не приносит). Остальные добираются контурными до полного числа неизвестных токов, то есть до числа ветвей. Контуры берите «независимые» — в каждый следующий входит хотя бы одна новая ветвь; проще всего выбирать ячейки-«окошки» плоской схемы, как комнаты на плане квартиры. Не назначили стрелку тока — назначьте сейчас: уравнение без стрелки не составить, а дважды считать одну и ту же цепь с разными соглашениями — верный путь к путанице.

Эквивалентные преобразования: последовательно, параллельно, звезда–треугольник#

Пока схема — простая гирлянда или развилка, Кирхгофа можно не трогать: всю схему сведёт свёртка цепи — пошаговое схлопывание последовательных и параллельных резисторов в один эквивалент. Последовательное соединение: один и тот же ток, напряжения складываются, поэтому сопротивления тоже — $R = R_{1} + R_{2} + R_{3}$ . Цепочка $2 + 3 + 5$ Ом даёт $10$ Ом.

Параллельное соединение: одно и то же напряжение, токи складываются, складываются проводимости:

\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}} + \frac{1}{R _{3}}

для двух ветвей короче:

R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}

— «произведение на сумму»

Проверьте на числах: $6 ∥ 3$ Ом дают $6 \cdot 3/9 = 2$ Ом, а тройка $6 ∥ 3 ∥ 2$ — ровно $1$ Ом: $1/6 + 1/3 + 1/2 = 1$ . Полезное следствие: параллельное соединение всегда даёт сопротивление меньше меньшего. Получили больше — ищите арифметическую ошибку.

Признак	Последовательно	Параллельно
Что общее у элементов	ток	напряжение
Что складывается	напряжения	токи
Итоговое сопротивление	$R = R_{1} + R_{2}$	$1/ R = 1/ R_{1} + 1/ R_{2}$
Ключевой пример	гирлянда лампочек, шунт амперметра	розетки квартиры, делитель тока
Практический ориентир	$R$ всегда больше наибольшего	$R$ всегда меньше наименьшего

Два базовых соединения: что общее, что складывается, что получается

Делители напряжения и тока

Из этих двух соединений вырастают два рабочих инструмента. Делитель напряжения: источник $U$ нагружен на цепочку $R_{1} + R_{2}$ , снимаем выход с нижнего резистора — $U_{вых} = U \cdot R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ . Пример: $U = 12$ В, $R_{1} = 2$ кОм, $R_{2} = 4$ кОм — на выходе $12 \cdot 4/6 = 8$ В. Так задают смещение в транзисторных каскадах и меряют высокое напряжение вольтметром на малый предел.

Делитель тока — зеркальная история для параллельных ветвей: общий ток $I$ делится обратно пропорционально сопротивлениям, $I_{1} = I \cdot R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ . Через $R_{1} = 3$ Ом и $R_{2} = 6$ Ом при $I = 6$ А пойдут $4$ А и $2$ А: больший ток — через меньшее сопротивление. Заметьте, в числителе стоит «чужое» сопротивление, не то, через которое считаем ток, — самая частая путаница на контрольной.

Звезда и треугольник: когда двух формул мало

Бывают схемы, которые не сводятся ни к последовательным, ни к параллельным цепочками — классика: измерительный мост Уитстона. Схема соединений «треугольник» (три узла, сопротивления между каждой парой) преобразуется в эквивалентную «звезду» (три луча из одного центра) и наоборот:

R_{a} = \frac{R _{ab} R _{c a}}{R _{ab} + R _{b c} + R _{c a}}, R_{ab} = R_{a} + R_{b} + \frac{R _{a} R _{b}}{R _{c}}

слева — переход треугольник → звезда (луч

R_{a}

между узлами

a

и центром), справа — звезда → треугольник

Для симметричного случая формулы схлопываются в красивое правило: сторона треугольника втрое больше луча звезды. Треугольник из трёх резисторов по $6$ Ом эквивалентен звезде с лучами по $2$ Ом. В несимметричном мосту ( $R_{1} = 2$ , $R_{2} = 4$ , $R_{3} = 6$ , $R_{4} = 12$ Ом) мост проверяют соотношением $R_{1} / R_{2} = R_{3} / R_{4}$ : здесь $2/4 = 6/12$ , мост уравновешен, и через гальванометр ток не идёт — преобразование даже не понадобилось. Неуравновешенный мост — прямая дорога к звезде.

Полный пример: цепь с двумя ЭДС и тремя резисторами#

Соберём всё вместе. Две ветви с источниками работают на общую нагрузку: $E_{1} = 16$ В с внутренним $R_{1} = 2$ Ом, $E_{2} = 15$ В с $R_{2} = 3$ Ом, нагрузка $R_{3} = 4$ Ом соединяет верхний и нижний узлы — та самая схема прикуривания. Назначаем направления: $I_{1}$ и $I_{2}$ вытекают из плюсов источников в верхний узел, $I_{3}$ течёт вниз через нагрузку.

Система двух уравнений = две прямые

Меняй числа!

Введите коэффициенты системы и смотрите на прямые. Решение — точка, где они пересекаются. Попробуйте сделать прямые параллельными: решений не будет. А теперь сделайте их одинаковыми — их бесконечно много!

ax + by = c dx + ey = f

abcdef

det

13.00

2.00

1.00

Случай

единственное

det = ae − bd: если он ноль, прямые параллельны или совпадают — правило Крамера отказывает.

Решаем систему Кирхгофа по шагам

Открывай шаги

Сначала попробуйте сделать шаг сами, потом открывайте и сверяйтесь. За полный проход начисляется XP.

Оба источника отдают ток в нагрузку: напряжение на ней $U_{3} = I_{3} R_{3} = 12$ В, и каждая ветвь сходится с ним независимо: $16 - 2 \cdot 2 = 12$ и $15 - 3 \cdot 1 = 12$ . Это третий способ проверки — напряжение одного узла относительно другого обязано получаться одинаковым по любой ветви. Кто проделал это руками, тот больше не боится систем линейных уравнений: правила Кирхгофа — просто СЛАУ, метод Гаусса для неё разобран в уроке СЛАУ и метод Гаусса.

Мощность и баланс мощностей#

На резисторе мощность превращается в тепло и считается тремя равносильными способами: $P = U I = I^{2} R = U^{2} / R$ . Источник же отдаёт в цепь $P = E \cdot I$ — ЭДС, умноженная на свой ток. Арифметика: в приведённом примере на нагрузке $12$ В при $3$ А — $36$ Вт.

Баланс мощностей — самая честная проверка расчёта: сколько ватт породили источники, столько обязано рассеяться на сопротивлениях. Складываем отдачу: $E_{1} I_{1} + E_{2} I_{2} = 16 \cdot 2 + 15 \cdot 1 = 47$ Вт. Складываем потребление: $I_{1}^{2} R_{1} + I_{2}^{2} R_{2} + I_{3}^{2} R_{3} = 4 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 9 \cdot 4 = 8 + 3 + 36 = 47$ Вт. Сошлось до ватта — значит, и токи верные, и знаки не перепутаны.

КПД источника — отношение того, что ушло во внешнюю цепь, к тому, что породил источник: $η = U_{клемм} / E = R / (R + r)$ . Для первой ветви $η = 12/16 = 0, 75$ : четверть мощности ветвь греет на собственном внутреннем сопротивлении. Максимум мощности в нагрузку попадает при $R = r$ , но КПД там всего $50%$ — режим согласования. Поэтому энергетика его избегает, а радиоприёмники, наоборот, любят: слабый сигнал важнее экономии, см. урок резонанс в электрических цепях.

Проверь себя+8 XP

Источник с $E = 9$ В и $r = 0, 5$ Ом замкнут на $R = 4$ Ом. Ток в цепи?

Проверь себя+8 XP

В узел входят токи $3$ А и $1$ А, выходят $2$ А и $I_{x}$ . Чему равен $I_{x}$ ?

Проверь себя+8 XP

Резисторы $4$ Ом и $12$ Ом соединены параллельно. Эквивалентное сопротивление?

Карточки: формулы цепей постоянного тока

Знаю: 0/6

Кликните карточку, чтобы перевернуть. Отмечайте выученное — счётчик в шапке покажет прогресс.

1 / 6

Закон Ома для полной цепи

Частые вопросы

Как применить второй закон Кирхгофа без путаницы со знаками?

Сначала назначьте токи ветвей стрелками (произвольно), затем выберите обход контура и не меняйте его до конца уравнения. Падение IR берётся с плюсом, если ток ветви сонаправлен обходу, ЭДС — с плюсом, если при обходе вы проходите источник от минуса к плюсу. Отрицательный ток в ответе означает лишь, что реальный ток течёт против вашей стрелки.

Чем ЭДС отличается от напряжения на клеммах?

ЭДС — работа сторонних сил по переносу единичного заряда внутри источника, она не зависит от нагрузки. Напряжение на клеммах меньше ЭДС на падение внутри источника: U = E − I·r. Под нагрузкой вольтметр на клеммах покажет именно U, а не E — поэтому просевшее напряжение под стартером говорит о большом внутреннем сопротивлении или разряде.

Когда нужен переход звезда–треугольник?

Когда схема не сворачивается последовательными и параллельными шагами: типичный случай — неуравновешенный мост Уитстона с резистором-мостиком. Один из треугольников схемы заменяют эквивалентной звездой (или наоборот), после чего схема становится сворачиваемой. Для симметричных случаев есть короткое правило: сторона треугольника втрое больше луча звезды.

Как проверить, что система Кирхгофа решена правильно?

Тремя способами сразу: подставить токи в каждое исходное контурное уравнение, сверить узлы (суммы входящих и выходящих) и посчитать баланс мощностей — сумма E·I источников должна совпасть с суммой I²R по всем сопротивлениям. Если баланс сошёлся до последнего ватта, ошибка в знаках или арифметике практически исключена.

Что дальше: постоянный ток — разминка перед настоящей электрической жизнью. В сети всё дрожит пятьдесят раз в секунду, и там появляются фазы, реактивные сопротивления и косинус, за который платят деньги. Начните с урока синусоидальный ток: амплитуда, фаза, действующее значение, а затем переходите к комплексному методу расчёта. Физическую сторону тех же правил — с полем и зарядами — освежите в уроке постоянный ток и статье закон Ома.

Готовитесь к контрольной?

Чеклист тем по «Электротехника»: что вы уже умеете, что повторить и в каком порядке.

Открыть чеклист предмета →

Проверьте себя в бою

Босс-экзамен по «Электротехника»: квизы всех уроков плюс бесконечный поток сгенерированных задач. Каждая попытка — новый расклад.

Начать босс-экзамен →