Переходные процессы в цепях: коммутация и постоянная времени

Контакт прерывателя в старом автомобиле размыкает цепь на 12 вольтах, а на свече зажигания в этот момент проскакивает дуга в двадцать тысяч вольт. Откуда взялись лишние девятнадцать тысяч девятьсот? Ни источника такого в машине нет — их рождает сама цепь в момент разрыва. Это переходный процесс: цепь не умеет переключать состояние мгновенно, и в щель между «было» и «стало» влезает выброс, способный и поджечь смесь в цилиндре, и убить транзистор в вашем блоке питания. Урок о том, как этот выброс посчитать заранее.

Почему ток и напряжение не меняются скачком#

Запрет на мгновенные перемены идёт от энергии. Катушка запасает её в магнитном поле $W=L{I}^2/2$, конденсатор — в электрическом $W=C{U}^2/2$. Скачок тока в катушке означал бы скачок энергии за нулевое время, то есть бесконечную мощность. Природа на такие фокусы не подписывалась: между старым состоянием и новым всегда идёт плавный процесс перетекания энергии.

Из этого следуют два закона коммутации — стартовые условия любого расчёта:

Момент $0^{-}$ — мгновение до переключения, $0^{+}$ — сразу после. Ток через катушку непрерывен, напряжение на конденсаторе непрерывно — вот две «памятные» величины цепи. А вот их партнёры могут прыгать сколько угодно: напряжение на катушке $u_L=Ldi/dt$ и ток конденсатора $i_C=Cdu/dt$ скачком меняются легко. На экзамене половина ошибок — попытка «защитить» не ту величину.

Классический метод: свободная и принуждённая составляющие#

Переходный процесс — это дифференциальное уравнение, записанное на языке цепи. Классический метод решает его в три шага, и вся процедура — младшая сестра линейных однородных ДУ и ДУ первого порядка из курса матфизики.

1. 1
   Составить уравнение цепи после коммутации (законы Кирхгофа и компонентные связи: $u_L=Ldi/dt$, $i_C=Cdu/dt$).
2. 2
   Разбить решение на две части: $x(t)=x_{\text{пр}}(t)+x_{\text{св}}(t)$ — принуждённая составляющая (установившийся режим, к которому всё идёт) плюс свободная (переходный «хвост»).
3. 3
   Свободную составляющую ищем как $e^{pt}$: подстановка даёт характеристическое уравнение. Для RL-цепи: $Lp+R=0$, откуда $p=-R/L$ — характеристическое уравнение первой степени.
4. 4
   Константу $C$ в $C{e}^{pt}$ находим из закона коммутации: подставляем $t=0^{+}$ и значение $i_L(0^{-})$ или $u_C(0^{-})$.

Смысл разделения честный: принуждённая составляющая — куда цепь собирается, свободная — как именно она туда доезжает. Экспонента и есть поезд: она затухает со скоростью, которую задаёт один-единственный параметр цепи.

Есть практический секрет поиска принуждённой составляющей: уберите из схемы динамику. Идеальная катушка при постоянном токе — просто провод (падения напряжения на индуктивности нет, ведь ток больше не меняется), идеальный конденсатор — разрыв (ток зарядки кончился). Схема вырождается в резистивную, и установившийся режим считается законами Ома и Кирхгофа из цепей постоянного тока за минуту. Дифференциальное уравнение нужно только для свободного «хвоста».

Для цепей выше первого порядка есть и второй подход — операторный метод: уравнения записывают через преобразование Лапласа, экспоненты выходят автоматически, а начальные условия входят прямо в схему замещения. Классический метод нагляднее при одном-двух накопителях, операторный выигрывает на разветвлённых схемах. Экзаменационный минимум — классика; через неё и к операторному приходит понимание.

RL-цепь: как катушка набирает ток#

Подключаем катушку с индуктивностью $L$ через сопротивление $R$ к источнику $U$. Так выглядит классический переходный процесс в RL-цепи — нарастание тока по экспоненте. Уравнение цепи: $U=Ldi/dt+Ri$. Принуждённый ток $I_{\text{уст}}=U/R$, свободная часть затухает как $e^{-Rt/L}$. С учётом нулевого начального тока ($i(0^{-})=0$ по закону коммутации):

Проверим размерность: генри, делённые на омы, — $\text{Гн}/\text{Ом}=\text{с}$? Вб/А делить на В/А — получаются Вб/В, а вебер — это вольт-секунда. Да, секунды. Постоянная времени $\tau =L/R$ — вся память цепи, ужатая в одно число.

Физический смысл: за время $\tau$ ток проходит путь до $1-e^{-1}\approx 63\%$ установившегося значения. За каждые следующие $\tau$ — ещё 63% оставшегося зазора. Инженерное правило: через $3\tau$ процесс дошёл до 95%, через $5\tau$ — до 99,3%, и дальше ждать нечего. Была цепь «не мгновенно» — стала вполне конкретная выдержка времени.

Спадовая ветвь графика — про искры. Размыкаем цепь с катушкой: ток обязан упасть, и чем быстрее, тем больше $|di/dt|$, а значит тем выше знакомая по электромагнитной индукции ЭДС самоиндукции $u_L=-Ldi/dt$. Ток в один ампер, гаснущий за миллисекунду в катушке на один генри, рождает тысячу вольт. Цепь найдёт, куда этот вольтаж пристроить: искру между контактами или пробой транзистора. С числами вернёмся к этому ниже — там и автомобильное зажигание.

RC-цепь: конденсатор набирает заряд терпеливо#

Та же драма, другие действующие лица. Конденсатор $C$ заряжается через резистор $R$ от источника $U$. Напряжение на конденсаторе — «памятная» величина, оно не может прыгнуть с нуля до $U$:

Пример: $C=100$ мкФ, $R=1$ кОм дают $\tau =10^{-4}\cdot 10^3=0,1$ с. Через $0,3$ с ($3\tau$) конденсатор заряжен на 95%, через $0,5$ с — на 99,3%. Ток зарядки ведёт себя зеркально: в первый момент максимален ($U/R$) и экспонентно спадает до нуля — именно поэтому севшая батарейка «оживает» через минуту: конденсатор блока питания уже подзарядился.

В цепях посложнее в $\tau$ входит не любой резистор, а эквивалентное сопротивление, которое видит реактивный элемент. Конденсатор 10 мкФ заряжается от источника через делитель: $R_1=10$ кОм до узла и $R_2=20$ кОм от узла до земли. Для расчёта $\tau$ источник закорачиваем, и конденсатор смотрит на параллельное соединение: $R_{\text{экв}}=10\cdot 20/30\approx 6,7$ кОм. Отсюда $\tau =6,7\text{кОм}\cdot 10\text{мкФ}\approx 0,067$ с — полсотни миллисекунд на полный заряд, а не секунда, как показал бы наивный $R_{1}C$.

Зеркальность стоит запомнить — она экономит половину учебника. Пары: индуктивность $\leftrightarrow$ ёмкость, ток $\leftrightarrow$ напряжение, $\tau =L/R$ $\leftrightarrow$ $\tau =RC$, нарастание тока при включении $\leftrightarrow$ нарастание напряжения при зарядке. Ёмкость, энергия поля и соединения конденсаторов разобраны в уроке про конденсаторы. Зная одно уравнение наизусть, вы знаете оба.

RLC: апериодический или колебательный разряд?#

Оставим игру в пары и добавим третьего игрока. Конденсатор разряжается через катушку и резистор — характеристическое уравнение становится квадратным: $L{p}^2+Rp+1/C=0$. Дискриминант $R^2-4L/C$ решает всё: до критического сопротивления корни комплексные (колебания), после — вещественные (монотонное затухание). Граница:

Пример: $L=0,1$ Гн, $C=10$ мкФ. Тогда $R_{\text{кр}}=2\sqrt{0,1/10^{-5}}=2\sqrt{10^4}=200$ Ом. Берем $R=50$ Ом — получаем колебательный разряд: конденсатор перезаряжается туда-сюда с периодом около $T\approx 2\pi \sqrt{LC}\approx 6,3$ мс, и волны затухают. Берем $R=500$ Ом — апериодический разряд: напряжение ползёт к нулю без единого перелёта. Собственные колебания контура живут полноценной жизнью в уроке про резонанс в цепях.

Полный пример: катушка 0,2 Гн подключается к 100 В#

Соберём весь алгоритм на одной задаче, которую дают на контрольных: катушка с индуктивностью $L=0,2$ Гн и сопротивлением $R=10$ Ом подключается к источнику $U=100$ В. Найти постоянную времени, установившийся ток и ток через время $3\tau$.

А теперь перевернём задачу и получим зажигание. Пусть тот же ток 10 А в катушке 0,2 Гн обрывается за 1 мс при размыкании контакта. Средняя ЭДС самоиндукции $|\epsilon |=L\Delta I/\Delta t=0,2\cdot 10/0,001=2000$ В — из двенадцативольтовой бортовой сети. У автомобильного прерывателя катушка еще и согласована со вторичной обмоткой с сотнями витков, поэтому на свече выходят десятки киловольт. Искра — это не прихоть, а прямое следствие закона коммутации: ток обязан сохраниться, и он прорывается через всё, что найдёт.

Энергетическая сторона тоже складывается честно. Катушка 0,2 Гн с током 10 А хранит $W=L{I}^2/2=0,2cdot100/2=10$ Дж. При размыкании эти десять джоулей выйдут искрой и нагревом контактов — ровно столько, сколько было накоплено, не больше и не меньше. Закон сохранения энергии делает выброс предсказуемым: посчитал запас — знаешь энергию импульса и, значит, сколько должен переварить снаббер.

Где переходные процессы работают на человека

• Реле времени: выдержка срабатывания = ожидание, пока ток в RL-цепи дойдёт до порога. Калибруется выбором $L/R$.
• Система зажигания: размыкание первичной цепи катушки рождает импульс в киловольты — свеча пробивает зазор.
• Снабберы: RC-цепочка у ключа переваривает выброс энергии катушки, спасая транзисторы.
• Фильтры питания: конденсаторы сглаживают пульсации, опираясь на то, что за $\tau =RC$ напряжение не успевает просесть.

Следующий шаг — измерительный. Возьмите любое реле, омметром измерьте сопротивление обмотки и предскажите, за сколько миллисекунд оно притянет якорь после подачи напряжения, — теперь у вас для этого есть $\tau$. Потом разомкните цепь под током и поймайте искру камерой телефона: вы уже знаете её происхождение и можете рассчитать RC-цепочку, которая её погасит. А дальше курс ведёт к резонансу — там те же самые экспоненты развернутся в синусоиды.