Магнитные цепи: закон Ома для магнитной цепи и расчёт с примером

Инженер проектирует электромагнитное реле: якорь должен притянуться при токе 50 мА, окно катушки вмещает тысячу витков провода 0,1 мм, а сердечник — стандартный Ш-образный лист. Хватит ли МДС, каким будет зазор, где сечение насытится? Перебирать варианты вслепую — месяцевная работа; считать — полчаса, если владеть аппаратом магнитных цепей. Он устроен поразительно похоже на электрические цепи из урока цепи постоянного тока: те же законы Ома и Кирхгофа, та же логика последовательных и параллельных участков. Разница — в физике величин, и её надо держать перед глазами, чтобы не получить правдоподобный, но бессмысленный ответ.

Что такое магнитная цепь#

Магнитная цепь — путь, по которому замыкается магнитный поток. В электромагните, трансформаторе, электрической машине поток ведут по ферромагнитному сердечнику: он собирает магнитное поле в компактную трассу, как медный провод собирает ток. Источник потока — катушка с током. Её действие описывается магнитодвижущей силой (МДС) — произведением тока на число витков:

Поток измеряется в веберах, МДС — в амперах (с поправкой на витки: ампер-витки, но размерность — А). Три величины связывает закон полного тока: циркуляция напряжённости поля по замкнутому контуру равна сумме токов, охваченных контуром. Для однородного сердечника средней длины $l$ с постоянным сечением это сразу даёт $Hl=Iw$ — напряжённость поля умножить на путь — и дальше остаётся связать $H$ с индукцией через материал.

Аналогия с электрической цепью: где она точна, а где лукавит#

Разложим закон полного тока на участки, как в методах расчёта цепей раскладывают контур на элементы. На каждом участке $H_k{l}_k=B_k{l}_k/{\mu }_{ak}=\Phi l_k/({\mu }_{ak}{S}_k)$, потому что поток через последовательное сечение один и тот же — магнитных «утечек» в хорошем сердечнике мало. Сложив участки контура, получаем уравнение, неотличимое по форме от второго закона Кирхгофа, — и прямо из него читается закон Ома для магнитной цепи:

Последняя строка таблицы — самая содержательная. Ток, идя по сопротивлению, греет его и требует непрерывной оплаты энергией. Магнитный поток ничего не греет: поддержание потока в сердечнике энергии не требует, энергия тратится только на катушку с её активным сопротивлением и — при переменном токе — на перемагничивание. Поэтому «магнитное сопротивление» — удобная расчётная фикция, а не физический потребитель. Второе отличие: $\mu$ ферромагнетика не постоянна — она зависит от индукции, и линейные методы работают только на линейном участке кривой намагничивания.

Воздушный зазор: маленький, но решающий#

Практически каждая магнитная цепь имеет зазор — подвижный якорь реле, зазор между ротором и статором машины, технологический стык сердечника. Воздух имеет проницаемость $\mu =1$, сталь — тысячи и десятки тысяч, поэтому даже миллиметровый зазор по магнитному сопротивлению равен метрам стали. Магнитное сопротивление зазора при том же сечении $S$ и зазоре $\delta$:

Обратная сторона медали полезна: зазор линеаризует цепь. Сталь насыщается и плывёт, воздух линеен как линейный резистор; добавив зазор, проектировщик делает индуктивность катушки стабильной и предсказуемой. Так проектируют дроссели сглаживающих фильтров и катушки реле: маленький зазор стоит устойчивости характеристик.

Шаг 6 — самое полезное место расчёта: он превращает формулу в проектное решение. Уменьшение зазора с 1 мм до 0,2 мм снижает его сопротивление в пять раз — с $2,0\cdot 10^6$ до $0,4\cdot 10^6$ 1/Гн, и суммарная МДС падает примерно до 480 А, то есть ток при 500 витках — менее ампера. Ни один другой элемент цепи не даёт такого выигрыша на миллиметр геометрии, и потому в аппаратах за зазором следят сильнее, чем за толщиной стали: грязь или заусенец в стыке магнитопровода проявляется как рост тока намагничивания.

Нелинейность и разветвлённые цепи: что делать дальше#

Проницаемость стали на разных участках кривой намагничивания меняется в десятки раз, поэтому честный расчёт ведут итерациями: задались индукцией → взяли $\mu$ по кривой → посчитали поток → сверили → поправили. На практике цепи часто рассчитывают в обратную сторону — от требуемого потока находят МДС по кривой намагничивания, суммируя падения магнитного напряжения $H_k{l}_k$ по участкам, и только зазор считают аналитически. Это прямой пересказ метода, которым закон Ома для полной цепи работает с нелинейными элементами: расчёт ведут участками, каждый со своей характеристикой.

Разветвлённые магнитные цепи — броневые трансформаторы, магнитные системы приборов, полюсные башмаки машин — считаются по той же Кирхгофской сетке: в узле потоки складываются ($\sum \Phi =0$), в контурах МДС уравновешивается суммой магнитных напряжений. Параллельные ветви дают приведённое сопротивление по обычной формуле параллельного соединения. Держать все эти формулы под рукой удобно по шпаргалке по магнитному полю, а физику поля внутри материалов — по уроку магнитное поле курса физики.

Типичные ошибки

• потерять ${\mu }_0$ в формуле сопротивления зазора — ответ уедет на шесть порядков
• подставить относительную проницаемость там, где нужна абсолютная ${\mu }_a={\mu }_0\mu$
• не выровнять сечения: у зазора и стыка площадь обычно меньше, чем у сердечника, — сопротивление растёт
• считать сталь линейной на всём диапазоне: у насыщения $\mu$ падает в десятки раз
• приписать магнитному сопротивлению нагрев: потерь энергии в магнитной цепи нет, «сопротивление» — чисто расчётная величина
• забыть про выпучивание потока у широких зазоров: поток в зазоре шире сечения сердечника, точная модель учитывает это коэффициентом

Куда ведёт эта тема: магнитная цепь — статический расчёт, следующий шаг — динамика. Переменный поток в сердечнике наводит ЭДС по закону электромагнитной индукции, и именно на этом построены трансформаторы: сечение и индукция магнитопровода определяют число витков на вольт. Полный разбор — в уроке трансформаторы, явление наведения — в словарной статье о законе электромагнитной индукции. Базовое соотношение всей цепной арифметики — закон Ома — здесь надевает магнитную форму, но работает честно.