🌐 Матфизика

Уравнение Лапласа

Q: Чем уравнение Лапласа отличается от уравнения Пуассона?

Наличием источников. В уравнении Пуассона $\Delta u = f$ правая часть задаёт плотность источников — заряды, печки, массы; в уравнении Лапласа правая часть нулевая, и поле лишь перераспределяется. Практический приём: частное решение Пуассона плюс общее решение Лапласа, чтобы подогнать граничные данные. Оба уравнения эллиптические, поэтому гладкость и принцип максимума у них общие.

англ. Laplace's equation

Уравнение равновесия без источников: сумма вторых производных по всем координатам равна нулю. Описывает стационарное тепло, электростатику и форму мыльной плёнки.

Поставьте в комнате чайник и подождите час: температура перестанет меняться, хотя у батареи всё ещё теплее, чем у окна. Это установившееся распределение подчиняется уравнению Лапласа $Δ u = 0$ — сумма вторых производных по всем координатам равна нулю: $u_{xx} + u_{y y} + u_{z z} = 0$ . Оператор $Δ$ — дивергенция градиента, «растекание» поля: без источников избытку тепла некуда деться, и он разносится ровно до равновесия. Функции с нулевым лапласианом называют гармоническими — ключевой объект эллиптических задач; подробнее о них — в материале гармоническая функция.

Классические места встречи: стационарное тепло, электростатический потенциал в области без зарядов, фильтрация грунтовых вод, прогиб мембраны под нагрузкой. Данные ставятся на границе — значения функции или поток — и поле внутри определено целиком. В круге уравнение решается разделением переменных: по радиусу выходят степени $r$ , по углу — ряд Фурье. Живой разбор задач — в уроке уравнение Лапласа, механика расщепления переменных — в материале метод разделения переменных, формулы на одном листе — в шпаргалке формулы УЧП.

u_{r r} + \frac{1}{r} u_{r} + \frac{1}{r ^{2}} u_{θ θ} = 0

уравнение Лапласа в полярных координатах: именно этот вид выходит при разделении переменных в круге, где угловая часть превращается в ряд Фурье

Частые вопросы

Чем уравнение Лапласа отличается от уравнения Пуассона?

Наличием источников. В уравнении Пуассона $Δ u = f$ правая часть задаёт плотность источников — заряды, печки, массы; в уравнении Лапласа правая часть нулевая, и поле лишь перераспределяется. Практический приём: частное решение Пуассона плюс общее решение Лапласа, чтобы подогнать граничные данные. Оба уравнения эллиптические, поэтому гладкость и принцип максимума у них общие.

Почему у решения уравнения Лапласа нет резких пиков внутри области?

Из-за свойства среднего: значение в каждой точке равно среднему по любой окружности вокруг неё. Локальный максимум нарушил бы это равенство — значит, пики и провалы сидят только на границе. Отсюда принцип максимума и единственность задачи Дирихле: разность двух решений с одинаковой границей нулевая на краю, значит нулевая и внутри.