🌐 Матфизика

Уравнение теплопроводности

англ. Heat equation

Параболическое УЧП $u_t = a^2 u_{xx}$: описывает остывание стержня и диффузию; сглаживает начальные данные, необратимо во времени.

Уравнение теплопроводности $u_{t} = a^{2} u_{xx}$ описывает, как температура $u (x, t)$ выравнивается в стержне. Вывод — баланс энергии плюс закон Фурье: тепловой поток пропорционален градиенту и течёт от горячего к холодному, $q = - k u_{x}$ . Для однородного стержня с теплоёмкостью $c$ и плотностью $ρ$ коэффициент температуропроводности равен $a^{2} = k / (c ρ)$ . Точно такой же вид имеет уравнение диффузии — с концентрацией вещества вместо температуры.

Граничные условия фиксируют температуру или поток на концах, начальное условие — профиль $u (x, 0)$ . Метод разделения переменных собирает решение из мод, и каждая гаснет со своей экспонентой: высокие гармоники умирают первыми, поэтому профиль приглаживается до одиночной полуволны, а затем к ровному теплу. Модель с задачами — в уроке уравнение теплопроводности, техника расщепления на два ДУ — в методе разделения переменных.

u (x, t) = \frac{1}{2 a π t} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{( x - s ) ^{2}}{4 a ^{2} t}} φ (s) d s

решение задачи Коши для бесконечного стержня: начальный профиль

φ (s)

размывается гауссовым ядром, и тепло растекается по оси

Частые вопросы

Почему тепло в модели распространяется мгновенно?

Парадокс параболического уравнения: гауссово ядро положительно при любом $t > 0$ , так что влияние начального нагрева формально заметно на любом расстоянии сразу. Физически скорость тепла конечна, просто классическая модель не описывает релаксацию потока. Практически возмущение за пределами нескольких $a t$ исчезающе мало, поэтому уравнение и остаётся рабочим инструментом.

Почему остывание нельзя обратить вспять?

Решение со временем сглаживает данные: чтобы перемотать процесс назад, начальный профиль пришлось бы делать всё более изломанным, и ряд по модам перестаёт сходиться. Информация о мелких деталях утекает в экспоненты, а высокие гармоники гасятся быстрее всего. Поэтому уравнение теплопроводности задаёт стрелку времени — в отличие от симметричного по времени волнового уравнения.