Гармоническая функция

Натяните плёнку на круглую рамку, вдавите палец в центр и отпустите — плёнка выровняется: выпуклостей без причины не бывает. Это образ гармонической функции — дважды дифференцируемой функции без внутренних источников, удовлетворяющей уравнению Лапласа $\Delta u=0$. Примеры: $u=x^2-y^2$, $u=\ln r$ на плоскости без нуля, потенциал точечного заряда $1/r$. Проверьте сами: у $x^2-y^2$ вторые производные в сумме сокращаются. Фирменный признак — свойство среднего: значение в центре круга равно среднему по его окружности.

Следствие — принцип максимума: экстремумы гармонической функции сидят на границе области. Комплексный анализ поставляет бесплатный генератор: действительная и мнимая части любой аналитической функции гармоничны, а в односвязной области у гармонической функции есть сопряжённая партнёрша, с которой она образует аналитическую пару. На этих функциях держатся электростатика, фильтрация и течение идеальной жидкости. Равновесие и разбор задач — в уроке уравнение Лапласа, аналитическая связь — в материале аналитические функции.