Конформные отображения: сохранение углов, примеры и применение

Любая плоская карта врёт: развернуть шар на плоскость без искажений нельзя, это доказано ещё Гауссом. Но врать можно по-разному — и картографы выбрали искажение площадей, лишь бы углы между дорогами и берегами оставались честными: мореходам нужен пеленг, а не размер страны. Отображения, сохраняющие углы, называются конформными — и у ТФКП они не экзотика, а хлеб: каждая аналитическая функция с ненулевой производной конформна. Заодно они решают инженерные задачи: обтекание крыла самолёта считается сначала вокруг круга, а потом переносится конформно.

Что значит «сохранять углы»#

Отображение $w=f(z)$ называется конформным в точке $z_0$, если угол между любыми двумя кривыми, проходящими через $z_0$, равен углу между их образами — с сохранением величины и направления отсчёта. Достаточное условие красивое:

Откуда это берётся: для малого приращения $\Delta z$ верно приближение $f(z_0+\Delta z)-f(z_0)\approx f^{\prime }(z_0)\Delta z$. Умножение на комплексное число $f^{\prime }(z_0)$ — это поворот на угол $\arg f^{\prime }(z_0)$ и растяжение в $|f^{\prime }(z_0)|$ раз. Ключевое слово — «все»: каждый вектор из точки поворачивается на один и тот же угол, поэтому взаимное расположение стрелок не портится. Угол между кривыми сохраняется, а локальный масштаб равен $|f^{\prime }(z_0)|$ — он меняется от точки к точке, и именно это делает карты честными по углам, но кривыми по площадям.

Случай $z^2$ показателен: производная $2z$ обращается в ноль в начале координат, и именно там конформность ломается — углы удваиваются. Точки, где $f^{\prime }(z_0)=0$, называются критическими; если нуль производной имеет порядок $m$, углы между кривыми в такой точке умножаются на $m+1$. Везде остальное — отображение ведёт себя как честный поворот с растяжением.

Канонические примеры: линейное, обратное, экспонента#

Линейное отображение $w=az+b$ конформно всюду при $a\ne 0$: это поворот на $\arg a$, растяжение в $|a|$ раз и сдвиг на $b$. Прямые уходят в прямые, окружности — в окружности. Скучно? Зато это кирпич, из которого собирают всё остальное.

Отображение $w=1/z$ — простейший представитель дробно-линейных функций $w=\frac{az+b}{cz+d}$ с условием $ad-bc\ne 0$. Дробно-линейные отображения — рабочие лошадки темы: они конформны всюду, где определены, переводят окружности и прямые снова в окружности и прямые (считая прямую окружностью бесконечного радиуса), и умеют доставлять три точки куда скажете. Пример, который стоит запомнить: $w=\frac{z-i}{z+i}$ переводит верхнюю полуплоскость $\mathrm{Im}z>0$ в единичный круг. Проверим: точка $z=i$ уходит в ноль — центр круга; для вещественного $z$ длины $|z-i|$ и $|z+i|$ равны, значит $|w|=1$ — граница честная.

Картографическое отступление объясняет, почему сохранение углов ставят во главу угла. Меркатор растянул мир так, что масштаб по широте увеличивается ровно во столько же раз, во сколько по долготе, — то есть его проекция конформна. Плата известна: Гренландия выглядит размером с Африку, хотя та в четырнадцать раз больше — площадям тут врать не запрещали. Выгода: курс с постоянным пеленгом — прямая линия, и штурман XVI века считал маршрут по линейке. Конформность — сознательный выбор того, чем пожертвовать.

Инверсия $w=1/z$ переворачивает плоскость: точка внутри единичной окружности вылетает наружу, прямые через ноль остаются прямыми, а окружности, проходящие через ноль, разворачиваются в прямые — ровно то свойство, которым дробно-линейные отображения спрямляют круглые границы. Производная $-1/z^2$ отлична от нуля всюду, кроме запрещённого нуля, так что конформность работает по всей плоскости с единственным исключением.

Композиция: собираем сложное из простого#

Композиция конформных отображений конформна — поэтому сложные области строят цепочкой простых шагов, как пересадками в метро. Задача: отобразить сектор $0<\arg z<\frac{\pi }{4}$ на верхнюю полуплоскость. Решение в два хода: сначала $w_1=z^4$ — аргумент умножается на четыре, сектор раскрывается в $0<\arg w_1<\pi$, то есть уже в верхнюю полуплоскость. Производная $4z^3$ в открытом секторе нулю не равна, конформность на месте. Проверка одной точкой: $z=1$ имеет аргумент $0$, его образ $1$ лежит на вещественной оси — граница переехала в границу, порядок.

Обратная задача встречается чаще прямой: дана неудобная граница — сделайте её прямой линией. Внутри полуплоскости или круга задача Дирихле для уравнения Лапласа решается формулой Пуассона, а конформное отображение переносит решение обратно в исходную область. Так работают с профилями крыльев, полей вокруг электродов, течений в каналах: геометрия уходит в отображение, уравнение остаётся стандартным. Технический фундамент переноса — гармоничность: если функция $u$ удовлетворяет уравнению Лапласа, то и композиция $u\circ f^{-1}$ удовлетворяет ему в образе — конформная замена переменных сохраняет класс гармонических функций.

1. 1
   Задача: отобразить полосу $0<\mathrm{Im}z<\pi /2$ на верхнюю полуплоскость.
2. 2
   Экспонента переводит горизонтальную линию $y=c$ в луч с аргументом $c$: полоса высоты $\pi /2$ раскрывается лишь в сектор $0<\arg w_1<\pi /2$.
3. 3
   Удваиваем аргумент: $w=e^{2z}$. Аргумент образа пробегает от $0$ до $\pi$ — получена ровно верхняя полуплоскость.
4. 4
   Проверка серединой: $z=i\pi /4$ даёт $w=e^{i\pi /2}=i$ — внутри верхней полуплоскости. Границы: $y=0$ уходит в положительную вещественную ось, $y=\pi /2$ — в отрицательную.
5. 5
   Конформность: производная $2e^{2z}$ нигде не обращается в ноль — сбоев нет ни в одной точке полосы.

Тема опирается на производную аналитической функции — если условия Коши–Римана уже подзабылись, вернитесь к уроку про аналитические функции; арифметика с $i$ и тригонометрическая форма числа разобраны в комплексных числах и в статье словаря. Поведение экспоненты и логарифма как функций комплексного переменного — в уроке про элементарные функции ТФКП.