Табличные интегралы: как ими пользоваться

Контрольная началась, и первый же интеграл не совпадает с таблицей ни одной буквой: $\int (2x+1{)}^{10}dx$, а в шпаргалке — только $\int x^{n}dx$. Хорошая новость: таблица не сборник готовых ответов, а заготовка, под которую пример подгоняется за одну-две строки. Ниже — минимальный набор формул, три приёма подгона и разбор живых примеров. Свои варианты удобно сверять в решателе интегралов: он показывает, к какой табличной строке сворачивается каждый пример.

Минимальный набор: десять строк#

Учить трёхсотстрочную таблицу смысла нет. Почти всё сводится к десятку формул: степени, экспонента, логарифм, тригонометрия и два арк-обратных. Проверьте себя: закройте правый столбец и попробуйте восстановить каждую строку за пять секунд. Где споткнулись — там и повторяйте.

Приём первый: подведение под дифференциал#

Табличная строка — шаблон: в ней интегрируется ровно $x$, а не $2x$, не $x^2$ и не $(2x+1)$. Таблицу можно читать с точностью до постоянного множителя: если рядом с неудобным выражением стоит его производная с точностью до числа, домножьте и поделите интеграл на это число. Так $(2x+1)$ начинает играть роль $x$.

Считаем $\int (2x+1{)}^{10}dx$. Производная основания равна $2$, а $dx$ — это $\frac{1}{2}d(2x+1)$. Выносим: $\frac{1}{2}\int (2x+1{)}^{10}d(2x+1)$. Внутри — табличная степень, где роль $x$ играет вся скобка: $\frac{1}{2}\cdot \frac{(2x+1{)}^{11}}{11}+C=\frac{(2x+1{)}^{11}}{22}+C$. Проверка дифференцированием возвращает $(2x+1{)}^{10}$ — сходится.

Тот же ход спасает в $\int \sin 2xdx$: дифференциал аргумента $d(2x)=2dx$, поэтому ответ $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$, а не просто $-\cos 2x$. Делите на коэффициент из производной аргумента — всегда.

Приём второй: производная в знаменателе#

Дробь $\frac{\sin x}{\cos x}$ сама по себе не табличная. Но производная косинуса — минус синус: $\sin xdx=-d(\cos x)$. Интеграл $\int \tan xdx$ превращается в $-\int \frac{d(\cos x)}{\cos x}=-\ln |\cos x|+C$. Тот же ход в $\int \frac{dx}{x\ln x}$: рядом с $\ln x$ стоит множитель $\frac{1}{x}$ — его производная. Выходит $\int \frac{d(\ln x)}{\ln x}=\ln |\ln x|+C$.

Запись $\ln |\ln x|$ — сигнал, что замена переменной даст ответ ещё аккуратнее: подведение под дифференциал — её частный случай.

Приём третий: сначала алгебра, потом таблица#

Иногда подгон не нужен — хватит раскрытых скобок. $\int \frac{x^2+1}{x}dx$ распадается на $\int xdx+\int \frac{dx}{x}=\frac{x^2}{2}+\ln |x|+C$. Тригонометрия любит тождества: $\int {\tan }^{2}xdx$ через $1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ становится $\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}-\int dx=\tan x-x+C$. Линейная комбинация тоже таблична: $\int (4e^x-7\cos x)dx=4e^x-7\sin x+C$. Две строки алгебры — и обе части смотрятся в таблицу.

Три типовые ошибки#

• Делить не на тот коэффициент. В $\int \sin 2xdx$ первообразная $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$: делите на двойку из производной аргумента, и только на неё.
• Потерять степень в дроби: $\frac{1}{x^2}$ — это $x^{-2}$, первообразная $-x^{-1}=-\frac{1}{x}+C$. Логарифм здесь не сработает: он только для первой степени $x$.
• Перепутать арктангенс с арксинусом: $\frac{1}{1+x^2}$ даёт $\arctan$, а $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — $\arcsin$. Корень в знаменателе — маркер арксинуса.