📈 Матанализ

Формула Грина

Q: Как посчитать площадь фигуры через формулу Грина?

Взять поле с единичной завихренностью, например $P = -\frac{y}{2}$, $Q = \frac{x}{2}$: разность $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$, и криволинейный интеграл равен площади. Для многоугольника с вершинами $(x_i, y_i)$ получается формула шнуровки: $S = \frac{1}{2} \left| \sum_i (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$ — один проход по вершинам вместо интегралов.

англ. Green's theorem

Мост между криволинейным интегралом по замкнутому контуру и двойным интегралом по области: $\oint_L P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dS$ при положительной ориентации границы.

Формула Грина связывает два интеграла по разным объектам: криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру $L$ и двойной интеграл по области $D$ , которую контур ограничивает: $\oint_{L} P d x + Q d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d S$ . Ориентация должна быть положительной: обход против часовой стрелки, область остаётся слева. Формула верна для областей с кусочно-гладкой границей; для многосвязных областей (с дырами) граница учитывается целиком: внешняя часть против часовой, внутренние — по часовой. Порядок разности $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ — самое частое место ошибки.

Интуиция: суммирование локальных завихрений. Разрежем область на крошечные ячейки и к каждой применим микроверсию формулы. Внутренние стороны соседних ячеек проходятся дважды во встречных направлениях и взаимно уничтожаются — остаётся лишь вклад внешней границы. Так циркуляция по контуру собирается из малых «вихрей» $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ внутри области. Тот же принцип, что у теоремы Остроградского–Гаусса, только вместо потока — циркуляция. Все участники формулы — криволинейный интеграл, двойной интеграл и частные производные.

\oint_{L} P d x + Q d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d S; S = \frac{1}{2} \oint_{L} x d y - y d x

формула Грина для положительно ориентированной границы; выбор

P = - \frac{y}{2}

Q = \frac{x}{2}

превращает правую часть в площадь области

Микропример: поле $P = - y$ , $Q = x$ , контур — окружность радиуса $R$ против часовой стрелки. Подынтегральная функция: $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (- 1) = 2$ , формула Грина даёт $\iint_{D} 2 d S = 2 \cdot π R^{2} = 2 π R^{2}$ . Прямой подсчёт совпадает: при $x = R cos t$ , $y = R sin t$ подынтегральное выражение равно $R^{2} (sin^{2} t + cos^{2} t) d t = R^{2} d t$ , интеграл по $t$ от $0$ до $2 π$ даёт $2 π R^{2}$ — точно. Отсюда и площадь круга: $\frac{1}{2} \oint_{L} x d y - y d x = \frac{1}{2} \cdot 2 π R^{2} = π R^{2}$ .

Площади и приложения двойных интегралов — урок двойные интегралы, приложения интегралов к геометрии — урок приложения определённого интеграла. Словарь: градиент — если $P = u_{x}$ , $Q = u_{y}$ , разность производных обнуляется и замкнутый контур даёт ноль; техника криволинейного интеграла — базовый язык формулы. Разборы задач — в руководстве как решать интегралы.

Алгоритм и ловушки формулы Грина

Схема: убедиться, что контур замкнут и область односвязна; зафиксировать положительную ориентацию; выписать

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}

; свести к двойному интегралу. Быстрая проверка знака: посчитайте циркуляцию по простому кругу — неожиданный знак означает перепутанную ориентацию или разность. Ловушки: перепутанный порядок разности переворачивает знак; незамкнутый путь нужно замкнуть отрезком и вычесть вклад отрезка; у области с вырезанной дырой внутренняя граница обходится по часовой стрелке и входит со своим знаком.

Частые вопросы

Как формула Грина связана с теоремой Стокса?

Это её плоский частный случай: положите $R = 0$ и натяните поверхность на плоскость $x y$ . У ротора $rot F$ остаётся единственная компонента $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ , поток ротора превращается в двойной интеграл, циркуляция — в криволинейный. Обе теоремы говорят одно: суммарное «вращение» внутри видно на границе.

Как посчитать площадь фигуры через формулу Грина?

Взять поле с единичной завихренностью, например $P = - \frac{y}{2}$ , $Q = \frac{x}{2}$ : разность $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ , и криволинейный интеграл равен площади. Для многоугольника с вершинами $(x_{i}, y_{i})$ получается формула шнуровки: $S = \frac{1}{2} ∣ \sum_{i} (x_{i} y_{i + 1} - x_{i + 1} y_{i}) ∣$ — один проход по вершинам вместо интегралов.