📈 Матанализ

Тройной интеграл

англ. Triple integral

Предел интегральных сумм по телу в пространстве: масса неоднородного тела при f = плотность, объём самого тела при f ≡ 1. Считается сведением к трём последовательным интегралам.

Тройной интеграл $∭_{V} f (x, y, z) d V$ — предел интегральных сумм по телу $V$ : тело нарезается на кусочки объёма $Δ V_{i}$ , в каждом берётся пробная точка, суммы $\sum f (P_{i}) Δ V_{i}$ перемалываются измельчением разбиения. Физический словарь прямолинеен: при $f$ — плотности интеграл даёт массу, при $f \equiv 1$ — объём тела; аналогично считаются заряд, момент инерции, центр тяжести. Двумерный родитель конструкции — двойной интеграл, механика сведения — теорема Фубини, полная тема — в уроке тройные интегралы.

Вычисление — три последовательных интеграла изнутри наружу: внутренний берётся по одной переменной при зафиксированных остальных. Пример на единичном кубе: $∭_{[0; 1]^{3}} x y z d V = (\int_{0}^{1} x d x) (\int_{0}^{1} y d y) (\int_{0}^{1} z d z) = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ — на кубе независимые переменные просто перемножаются. Для криволинейных границ пределы внутреннего интеграла зависят от внешних переменных, и тут без чертежа тела не обойтись: проекция на плоскость задаёт внешние пределы, поверхность — внутренние. Пошаговые разборы — в разделе как решать тройные интегралы.

Симметрия тела диктует координаты. Цилиндрические $(r, φ, z)$ для тел вокруг оси: якобиан $r$ , так что $d V = r d r d φ d z$ . Сферические $(ρ, φ, θ)$ для шаров и конусов: $d V = ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ$ . Контрольный пример: объём шара $R = 1$ равен $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{1} ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ = 2 π \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4 π}{3} \approx 4, 19$ — формула школьной геометрии подтверждена. Применения интегралов к массам и центрам тяжести — в уроке применения интеграла.

∭_{V} f d V = ∭_{V^{'}} f ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ, ∭_{V} 1 d V = ∣ V ∣

сферические координаты: якобиан

ρ^{2} sin φ

входит в объёмный элемент; единичная функция даёт объём тела

Частые вопросы

Когда переходить к цилиндрическим или сферическим координатам?

Когда тело или плотность несут осевую либо сферическую симметрию: цилиндр, конус, параболоид — цилиндрические; шар, слой между сферами, конус от начала координат — сферические. Диагностика простая: если уравнение границ содержит $x^{2} + y^{2}$ , просится $r$ ; если $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ — просится $ρ$ . Выигрыш не только в пределах, но и в якобиане, который заодно упрощает подынтегральную функцию.

Как расставить пределы в тройном интеграле?

Сверху вниз по картинке: спроецируйте тело на выбранную плоскость — проекция даёт внешние двойные пределы; затем по вертикали найдите нижнюю и верхнюю поверхности $z = z_{1} (x, y)$ и $z = z_{2} (x, y)$ — это пределы внутреннего интеграла. Внутренние пределы имеют право зависеть от внешних переменных, внешние обязаны быть константами. Схема с примерами — в разделе как решать тройные интегралы.

пошагово

Решатель интегралов

Разобрать внутренний интеграл тройного

Внутренний интеграл берётся первым — решатель покажет этот шаг и промежуточное выражение.

Открыть решатель