♾️ ТФДП

Теорема Фубини

англ. Fubini's theorem

Теорема о смене порядка интегрирования: для суммируемой на произведении мер функции двойной интеграл равен обоим повторным интегралам.

Теорема Фубини — разрешение менять порядок интегрирования: если $f$ суммируема на произведении $X \times Y$ по произведению мер, то существуют оба повторных интеграла, и все три числа совпадают. Условие суммируемости — интегрируемость $∣ f ∣$ — не украшение: есть функции, у которых оба повторных интеграла существуют, но различаются из-за условной сходимости. Для неотрицательных измеримых $f$ отдельная версия — теорема Тонелли — разрешает переставлять порядок всегда, пусть ответ выйдет и бесконечным.

Теорема связывает интеграл Лебега с многомерными задачами: двойной интеграл по произведению мер сводится к последовательным одномерным, а в теории вероятностей из совместной плотности так достают частные распределения. Простейшая проверка: $f (x, y) = x y$ на единичном квадрате даёт $\int_{0}^{1} x d x \cdot \int_{0}^{1} y d y = 1/4$ — столько же у двойного интеграла. Классическая версия для двойного интеграла Римана — в уроке двойные интегралы, база меры и интеграла — в интеграле Лебега.

\iint_{X \times Y} f d (μ \times ν) = \int_{X} (\int_{Y} f (x, y) d ν (y)) d μ (x) = \int_{Y} (\int_{X} f (x, y) d μ (x)) d ν (y)

теорема Фубини: для суммируемой функции двойной интеграл по произведению мер равен обоим повторным, поэтому порядок интегрирования выбирается из удобства вычислений

Частые вопросы

Почему одного существования повторных интегралов недостаточно?

Повторные интегралы могут существовать за счёт взаимных сокращений — условной сходимости — и давать разные числа: у классического примера с знакопеременной особенностью один порядок даёт положительное значение, другой — отрицательное того же модуля. Фубини страхует условие суммируемости: интегрируемость модуля гарантирует абсолютную сходимость, при которой перестановка порядка уже не влияет на результат.

Чем теорема Фубини отличается от теоремы Тонелли?

Условиями и направлением применения. Тонелли работает для неотрицательных измеримых функций: менять порядок можно всегда, даже если оба ответа бесконечны. Фубини требует суммируемость $∣ f ∣$ , зато гарантирует конечные равные числа. На практике их комбинируют: Тонелли вычисляет интеграл модуля, и если он конечен, Фубини легализует перестановку порядка для исходной функции со знаком.