Измеримые функции: что можно интегрировать по Лебегу и почему

Множества мы уже измеряем (прошлый урок). Следующий слой — функции: какие из них вообще допускаются к интегралу Лебега? Критерий неожиданно демократичный, и его хватает, чтобы включить в клуб все непрерывные, монотонные, ступенчатые и даже таких монстров, как функция Дирихле, разрывная в каждой точке отрезка. Заодно он объяснит, кого всё-таки не берёт Риман — и почему это честно.

Какую функцию называют измеримой?#

Функция $f$, заданная на измеримом множестве $E$, называется измеримой, если для любого действительного числа $a$ измеримо множество точек, где $f$ превышает уровень $a$:

Формулировка через уровни — не единственная. Равносильно требуют измеримости прообразов $f^{-1}(B)$ всех борелевских множеств $B$ — всего, что собирается из интервалов счётными объединениями, пересечениями и дополнениями. Смысл обоих определений один: функция согласована с измеримой структурой пространства. Прообраз измеримого множества при измеримой функции снова измерим — функция не склеивает хорошие множества в неизмеримые. Краткая словарная статья — функция, измеримая по Лебегу.

Почему в определении достаточно одного вида множеств $\{f>a\}$? Остальные уровни собираются из них счётными операциями — вот вся таблица сборки:

• $\{f\ge a\}={\bigcap }_{n=1}^{\infty }\{f>a-1/n\}$ — счётное пересечение;
• $\{f<a\}=E\setminus \{f\ge a\}$ — дополнение;
• $\{\alpha <f\le \beta \}=\{f>\alpha \}\setminus \{f>\beta \}$ — разность;
• $\{f=a\}=\{f\ge a\}\setminus \{f>a\}$ — разность.

Проверять бесконечную бородку множеств не придётся: если измеримы все $\{f>a\}$, измеримы автоматически и все прообразы борелевских множеств. Измеримые функции называют ещё борелевскими по духу определения: класс замкнут относительно счётных операций — и это не украшение, а несущая конструкция. Как увидим ниже, именно замкнутость относительно предельного перехода делает класс пригодным для жизни.

Какие функции измеримы? Разберём примеры#

Клуб измеримых огромен, и это хорошая новость для будущего интеграла.

1. Непрерывные функции: прообраз открытого множества при непрерывном отображении открыт, а открытые множества измеримы. Всё, что умел интегрировать Риман, автоматически попадает в новую теорию.
2. Монотонные функции: множество $\{f>a\}$ — луч, интервал или полуинтервал; у монотонных функций к тому же не более счётного числа разрывов.
3. Ступенчатые функции: $\{f>a\}$ — конечное объединение промежутков, измеримость видна глазами.
4. Индикаторы измеримых множеств: ${\chi }_A=1$ на $A$ и $0$ вне; множество $\{{\chi }_A>a\}$ — это $E$, $A$ или $\varnothing$ в зависимости от $a$.

Дальше работает конструктор. Сумма, разность, произведение и частное (где знаменатель не нуль) двух измеримых функций измеримы; $|f|$, $f^2$, $1/f$, $\max (f,g)$ и $\min (f,g)$ измеримы, коль скоро измеримы их аргументы. Композиция $f\circ g$ измерима, если $g$ измерима, а $f$ непрерывна. Равномерный предел измеримых функций измерим — и это лишь частный случай главного утверждения.

Проверяем уровни на практике: мигающая функция

Закрепим определение на функции из симулятора ниже: $D_k(x)=\frac{1+\mathrm{sign}(\sin kx)}{2}$, равной $1$ там, где $\sin kx>0$, и $0$ там, где $\sin kx<0$. Уровни считаются на пальцах: при $a<0$ множество $\{D_k>a\}$ — весь интервал; при $0\le a<1$ — объединение $k$ дуг, где синус положителен, суммарной длины $\pi /2$; при $a\ge 1$ — пусто. Всё измеримо, функция измерима — и это при $2k$ переключениях на периоде, сколько бы ни было $k$. Количество разрывов и их плотность определению безразличны: смотрим только на меру.

Что такое сходимость почти всюду?#

Последовательность $f_n$ сходится к $f$ почти всюду, если $f_n(x)\to f(x)$ для всех точек, кроме, возможно, множества меры нуль. Канонический пример: $f_n(x)=x^n$ на $[0,1]$. Для каждого $x\in [0,1)$ степени убывают к нулю, в точке $x=1$ все члены равны единице. Предел — функция, равная нулю на всём отрезке и единице в одной точке; исключение имеет меру нуль, значит, $f_n\to 0$ п.в. Почти-всюдная сходимость терпит отдельные бунты, и интеграл Лебега их прощает: множества бунтов для него прозрачны.

Сравните с сходимостью последовательностей чисел: там всё или ничего, здесь же у сходимости появился резерв — множество исключений меры нуль. Это резервуар, из которого пьют все предельные теоремы курса. А вот на прямой целиком, где мера бесконечна, резерв работает иначе: индикаторы отрезков $[n,n+1]$ сходятся к нулю почти всюду (в каждой точке рано или поздно отрезки уплывают вправо), но сходимости по мере нет — мера множества отклонений всегда равна единице. Конечность множества, на котором живёт сходимость, здесь не техническая мелочь, а рабочее условие. Полное определение режима закреплено в статье сходимость почти всюду.

Что такое сходимость по мере?#

Есть и более грубый масштаб. $f_n$ сходится к $f$ по мере, если доля точек, где отклонение велико, стремится к нулю:

Смысл: в каждой конкретной точке могут случаться срывы, но множества срывов тают. Классическая конструкция — ползущие отрезки: занумеруем парами $(j,k)$ отрезки $[k/2^j,(k+1)/2^j]$ внутри $[0,1]$ и возьмём их индикаторы по порядку. На уровне $j$ отрезков $2^j$, каждый длины $2^{-j}$: с ростом номера мера текущего отрезка летит к нулю — сходимость по мере к нулю есть. А поточечной сходимости нет нигде: каждая точка посещается бесконечно многими отрезками, значения функции в ней бесконечно часто равны $0$ и $1$.

Связь между режимами закрепляет теорема Рисса (обзорно): из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере на множестве конечной меры; обратно, из сходимости по мере можно выделить подпоследовательность, сходящуюся почти всюду. Вся последовательность при этом может не сходиться поточечно нигде — как у ползущих отрезков. Детали и предельные теоремы под интегралом — в уроке о предельных теоремах Лебега.

Почему функция Дирихле измерима, хотя разрывна везде?#

Проверим уровни на $E=[0,1]$. Для $a<0$: $\{D>a\}=[0,1]$ — измеримо. Для $0\le a<1$: $\{D>a\}=\mathbb{Q}\cap [0,1]$ — счётное множество меры нуль, измеримо. Для $a\ge 1$: пустое множество. Все случаи измеримы — $D$ измерима. При этом она разрывна в каждой точке отрезка: в любой окрестности накопились и рациональные, и иррациональные точки, значения функции там равны $1$ и $0$. Измеримость и непрерывность — независимые качества: непрерывность тянет измеримость за собой, но не наоборот.

Здесь же ответ на вопрос «зачем вообще термин». Свойства функции Дирихле: она измерима, разрывна всюду, равна нулю почти всюду — и потому интегрируема по Лебегу с результатом $0$. Риманов интеграл у неё отсутствует. Одна функция держит три разных понятия, и различать их умеет только теория меры.

Зачем интегралу измеримость? Интеграл Лебега строится на простых функциях — ступеньках по измеримым множествам. Чтобы записать вклад уровня $a$, нужно знать меру множества, где функция его принимает; измеримость гарантирует, что у всех уровней мера есть. Это входной билет: без него конструкция даже не начинается, с ним — работает на всей функции целиком.

Исторически всё началось с Эмиля Бореля и его работы 1898 года о борелевских множествах; Лебег в 1902-м перенёс конструкцию на функции. На семинарах любят спрашивать: зачем усложнять определение, если непрерывности хватает физике? Ответ короткий: непрерывность неустойчива к предельному переходу, а измеримость устойчива; физика же постоянно имеет дело с пределами — от сумм Фурье до плотностей вероятности.

Как критерий Лебега делит функции между Риманом и Лебегом?#

Итог сравнения сформулирован критерием Лебега: ограниченная на отрезке функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество её точек разрыва имеет меру нуль. Функция Дирихле разрывна всюду, множество разрывов — весь отрезок меры $1$: Риман отказывает. У монотонной функции разрывов не более счётного числа — мера нуль, интегрируема по Риману. У непрерывной функции разрывов нет вовсе — тем более.

Лебег расширяет клуб без условий на разрывы: всякая ограниченная измеримая функция на отрезке интегрируема по Лебегу. Неограниченные тоже поддаются — интеграл может выйти бесконечным или конечным; как устроено само вычисление, показано в уроке об интеграле Лебега.

Критерий интереснее читать в обе стороны. Индикатор множества Кантора разрывен ровно на канторовом множестве: в его точках рядом всегда найдутся выброшенные интервалы с нулевыми значениями. Но мера разрывов нулевая — функция интегрируема по Риману, и её интеграл равен $0$. Получается тонкая пара: у Дирихле разрывы размазаны по всему отрезку (мера $1$) — Риман сдаётся; у индикатора Кантора разрывы сидят на нуль-множестве — Риман справляется, хоть функция и разрывна в несчётном числе точек. Граница риманова мира проходит не по количеству разрывов, а по их мере.

Клуб кандидатов на интегрирование определён: измеримые функции, включая пределы почти всюду. Следующий шаг — собрать сам интеграл Лебега: простые функции, супремум и вычисление Дирихле в одну строку.