Функция, измеримая по Лебегу
англ. Lebesgue measurable function
Функция, у которой все множества уровня {f > a} измеримы: минимальное условие, чтобы функция допускалась к интегралу Лебега.
Функция, измеримая по Лебегу — функция , у которой для каждого порога множество уровня измеримо. В определении нарочно нет ни слова о непрерывности или разрывах: требуется лишь, чтобы горизонтальные срезы функции были множествами, на которых мера определена. Равносильная формулировка — прообраз любого открытого множества измерим; достаточно проверять пороги по счётному плотному набору, например по .
Клуб измеримых на удивление широк: непрерывные, монотонные и ступенчатые функции, поточечные пределы измеримых последовательностей и даже функция Дирихле, разрывная в каждой точке. Класс устойчив: суммы, произведения и частные (с оговоркой про нуль знаменателя) измеримых функций измеримы. Измеримость — входной билет на интеграл Лебега; разбор определения, критерий Римана и примеры — в уроке измеримые функции.
Частые вопросы
Какие функции измеримы, а какие не бывают?
Измеримы все непрерывные и монотонные функции, ступенчатые, суммы и произведения измеримых, а также поточечные пределы измеримых последовательностей. Неизмеримые функции существуют, но конструируются только вручную через неизмеримые множества вроде виталевских — например, их индикаторы. В реальной практике анализа, от рядов до уравнений физики, встречаются исключительно измеримые функции: класс слишком широк, чтобы из него выпасть случайно.
Почему измеримость проверяют именно по множествам {f > a}?
Потому что из пороговых срезов собирается всё: множества , и далее прообразы любых борелевских множеств получаются счётными операциями над уровнями. Проверять каждый прообраз по отдельности невозможно, зато уровни с рациональными образуют счётное семейство. Это стандартный приём: контроль на порождающем семействе распространяется на всю σ-алгебру.