Мера множества по Лебегу: как длину обобщают на любые множества

Начнём с двух недоумений. Первое: определённый интеграл Римана мгновенно ломается на функции Дирихле, равной $1$ в рациональных точках и $0$ в иррациональных. В любом отрезке разбиения есть точки обоих сортов, функция скачет между $0$ и $1$, нижние и верхние суммы Дарбу застревают на $0$ и $1$ — интеграла нет. Второе недоумение приходит из теории вероятностей: что значит «случайная точка брошена равномерно на $[0,1]$», если вероятность попасть ровно в любую конкретную точку равна нулю? Оба вопроса упираются в одну дыру: у нас нет понятия «длина» для множеств, устроенных сложнее отрезка.

Дыру будем латать. Школьное слово «длина» работает для интервалов, но что такое длина множества всех рациональных точек отрезка? А множества Кантора, из которого вырезана каждая средняя треть? Ответ дал Анри Лебег в диссертации 1902 года, и его мера стала фундаментом современного анализа: интеграла Лебега, функционального анализа, аксиоматики вероятностей Колмогорова. Разберём конструкцию с нуля — она честнее, чем о ней говорят.

Почему Риману стало тесно?#

Интеграл Римана режет ось аргумента на отрезки и на каждом куске зажимает функцию между минимальным и максимальным значениями. Приём работает, пока колебание на мелких кусках мало — так бывает у непрерывных функций и у ограниченных функций с редкими разрывами. Для функции Дирихле колебание на любом куске равно единице, и никакое измельчение не помогает: суммы Дарбу стоят на местах при любом разбиении.

Проблема глубже одного неудачного примера. В анализе постоянно берут пределы: предел непрерывных функций может оказаться сколь угодно изрезанным, и хочется интегрировать его вместе со всей последовательностью. Площадь под графиком неотрицательной функции — это по сути мера множества точек под кривой. Прежде чем обобщать интеграл, надо обобщить длину. Задача «почему не берётся интеграл» превращается в задачу «как измерять произвольные множества».

Что такое внешняя мера Лебега?#

Идея честная до наивности: накроем множество $A$ интервалами и сложим их длины. Накрытий бесконечно много — от грубых до ювелирных; за длину множества примем наилучшую нижнюю оценку, то есть инфимум сумм длин по всем покрытиям:

Три решения, на которых всё держится. Покрытие — счётное: иначе не измерить счётные множества и не получить аддитивность. Интервалы могут пересекаться: оптимизацией упаковки никто не занимается, инфимум сам отсечёт лишнее. Оценка берётся снизу: если множество крошечное, какое-нибудь покрытие обязательно это заметит и даст крошечную сумму.

На знакомой территории внешняя мера ведёт себя образцово: $m^{\ast }([a,b])=b-a$, у интервала мера совпадает с длиной, у фигуры из конечного числа отрезков равна суммарной длине без учёта наложений. И главное глобальное свойство — счётная полуаддитивность:

Звучит скромно, но без этой оценки не выжить: именно из неё следует, что счётные множества имеют меру нуль, а из неё дальше — вся σ-аддитивность на измеримых множествах.

Почему не всякое множество измеримо?#

Хорошая новость: внешняя мера определена у каждого множества. Плохая: в общем случае она не аддитивна — мера объединения двух непересекающихся кусков может быть строго меньше суммы мер. Лебег вырезал класс измеримых множеств: множество $A$ измеримо, если для любого $\epsilon >0$ его можно накрыть открытым множеством $G\supset A$ с малым запасом, $m^{\ast }(G\setminus A)<\epsilon$. Эквивалентный критерий Каратеодори: $A$ режет любое пробное множество $T$ без потерь, $m^{\ast }(T)=m^{\ast }(T\cap A)+m^{\ast }(T\setminus A)$. На измеримых множествах внешнюю меру называют просто мерой $m$ — и на этом классе она уже σ-аддитивна.

Мера живёт не на всех множествах, а на σ-алгебре — семействе множеств, замкнутом относительно дополнения и счётных объединений. Всюду в анализе хватает борелевской σ-алгебры: множеств, получаемых из интервалов счётными операциями. Неизмеримые множества в неё не попадают; но чтобы доказать, что они вообще существуют, нужен пример — и он жёстче, чем кажется.

Множество Витали: множество без меры

Назовём две точки отрезка $[0,1]$ эквивалентными, если их разность рациональна: $x\sim y⟺x-y\in \mathbb{Q}$. Отрезок рассыпается на классы: внутри класса точки отстоят друг от друга на рациональное расстояние, из разных классов — на иррациональное. Из каждого класса выберем по одному представителю; полученное множество $V$ называют множеством Витали.

Сдвинем $V$ на каждое рациональное число $r\in [-1,1]$ и посмотрим на семейство $V+r$. Сдвиги попарно не пересекаются: если бы $x+r_1=y+r_2$ при $x,y\in V$, то $x-y=r_2-r_1\in \mathbb{Q}$, и два представителя оказались бы эквивалентны — а по построению они из разных классов. Вместе сдвиги накрывают весь $[0,1]$: любая точка отрезка эквивалентна какому-то представителю, их разность рациональна, и подходящий сдвиг не больше единицы. И одновременно умещаются в $[-1,2]$.

Пусть у $V$ есть мера, $m(V)=c$. По σ-аддитивности сумма мер счётного семейства непересекающихся сдвигов равна $c+c+\dots$: при $c=0$ это нуль, при $c>0$ — бесконечность. Но та же сумма обязана быть не меньше $1$ (сдвиги накрывают $[0,1]$) и не больше $3$ (сами умещаются в $[-1,2]$). Ни нуль, ни бесконечность не проходят. Противоречие означает: меры у $V$ не существует, множество неизмеримо.

Что мера обещает измеримым множествам?#

На классе измеримых множеств мера $m$ — идеальная длина:

• неотрицательность: $m(A)\ge 0$, причём $m(\varnothing )=0$;
• σ-аддитивность: $m\left({⨆}_n{A}_n\right)={\sum }_{n}m(A_n)$ для счётного набора попарно непересекающихся измеримых множеств;
• монотонность: $A\subset B$ влечёт $m(A)\le m(B)$;
• непрерывность: если $A_1\subset A_2\subset \dots$, то $m\left({\bigcup }_n{A}_n\right)={\lim }_{n}m(A_n)$.

σ-аддитивность — главная строка списка. Она позволяет разбивать множества на счётное число кусков и складывать меры, то есть именно она делает возможными ряды, предельные переходы и вероятность сложных событий. Всё остальное в теории меры — техника на её основе.

Почему у счётного множества мера нуль?#

Докажем в одну строку. Перенумеруем точки множества: $q_1,q_2,q_3,\dots$ Точку $q_n$ накроем интервалом длины $\epsilon /2^n$. Суммарная длина покрытия — геометрическая сумма $\epsilon /2+\epsilon /4+\epsilon /8+\cdots =\epsilon$. Внешняя мера не превосходит суммы длин любого покрытия, значит, она не больше любого $\epsilon >0$, то есть равна нулю.

Сравните с интуицией: $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ всюду плотно — в каждом нетривиальном интервале лежит бесконечно много рациональных точек, — и при этом по длине это ничто. «Много точек» и «много длины» — независимые характеристики; мера нужна именно для того, чтобы их разводить по разным полкам.

Что такое множество Кантора и сколько в нём длины?#

Главное нуль-множество классического анализа строится выбрасыванием. Из $[0,1]$ удалим открытую среднюю треть $(1/3,2/3)$. Из каждой оставшейся трети удалим её среднюю треть. Продолжаем без конца. На $n$-м шаге в живых остаётся $2^n$ отрезков длины $3^{-n}$ каждый — посчитаем, сколько длины они несут.

1. 1
   Шаг 0: один отрезок длины $1$ — суммарно $1$
2. 2
   Шаг 1: выброшена средняя треть, осталось $2$ отрезка по $1/3$ — суммарно $2/3\approx 0,667$
3. 3
   Шаг 2: осталось $4$ отрезка по $1/9$ — суммарно $4/9\approx 0,444$
4. 4
   Шаг 3: осталось $8$ отрезков по $1/27$ — суммарно $8/27\approx 0,296$
5. 5
   Шаг 10: $2^{10}/3^{10}=(2/3{)}^{10}\approx 0,0173$
6. 6
   Предел: суммарная длина равна $(2/3{)}^n\to 0$

Множество Кантора $C$ — это точки, не выброшенные ни на одном шаге: пересечение вложенных стадий. По непрерывности меры $m(C)={\lim }_n(2/3{)}^n=0$: вся длина ушла в счётный набор выброшенных интервалов. А теперь сюрприз: точек в $C$ несчётно много. Точка выживает ровно тогда, когда в её троичной записи нет единиц — только нули и двойки; такие записи кодируют произвольные последовательности из двух символов, а их континуум. Итог гремучий: несчётное множество меры нуль — континуум точек, сплющенный в нулевую длину.

Что значит «почти всюду»?#

Множества меры нуль — рабочая мелочь анализа, и на них построен отдельный язык. Свойство выполнено почти всюду (сокращённо п.в.), если оно нарушается разве что на нуль-множестве. Функция Дирихле почти всюду равна нулю: исключение — рациональные точки. Монотонная функция почти всюду дифференцируема (теорема Лебега). Ряд Фурье ограниченной функции сходится к ней почти всюду — теорема Карлесона, одна из самых тяжёлых в анализе.

Устойчивость терминологии держится на σ-аддитивности: счётное объединение нуль-множеств — снова нуль-множество. Исключения не накапливаются: можно испортить функцию в десяти, в миллиарде или в счётном числе точек — «почти всюду» не пошевелится. Для интеграла Лебега это станет законом: изменение функции на нуль-множестве не меняет интеграл.

Причём тут вероятность?#

Теперь второй вопрос начала получает ответ. Вероятность — это мера, у которой всё пространство исходов имеет меру единица: $P(\Omega )=1$. Событие — измеримое множество исходов; аксиомы Колмогорова (1933) повторяют свойства меры: неотрицательность, $P(\varnothing )=0$ и σ-аддитивность. Формула сложения вероятностей для несовместных событий — не эвристика, а прямое следствие σ-аддитивности.

Вероятность попадания ровно в точку равна мере нуль-множества — нулю, и это не парадокс, а норма устройства непрерывных моделей: масса размазана по интервалам, у отдельных точек её нет. Выражение «событие происходит почти наверняка» — вероятностное имя для «почти всюду»: так в законе больших чисел среднее арифметическое наблюдений сходится к математическому ожиданию на множестве исходов вероятности один. Мост между ТФДП и теорией вероятностей — ровно одна конструкция: мера.

Мы научились измерять множества — пора измерять функции. Следующий шаг: измеримые функции — кандидаты на интегрирование, у которых все уровни $\{f>a\}$ обязаны быть измеримыми множествами. Дальше на них встанет интеграл Лебега, который наконец переварит Дирихле.