Континуум

Континуум — мощность непрерывных множеств, $c=2^{{\aleph }_0}$: столько элементов у отрезка, у всей числовой прямой $\mathbb{R}$ и у плоскости. Кантор показал, что $c$ строго больше ${\aleph }_0$: любой список действительных чисел обманывается диагональным аргументом — строится число, отличающееся от $n$-го элемента списка в $n$-м двоичном разряде. Одновременно $c$ равен мощности множества всех подмножеств натурального ряда: действительное число кодируется бесконечной последовательностью нулей и единиц.

Континуум — рабочая мощность всего анализа: непрерывных функций на отрезке тоже континуум, а всех функций уже больше. Гипотеза Кантора о том, что промежуточных мощностей между ${\aleph }_0$ и $c$ нет, оказалась независимой от аксиом теории множеств: и она, и её отрицание совместимы с аксиоматикой Цермело — Френкеля (Гёдель, Коэн). Для ТФДП важно лишь, что континуум несчётен: измеримые множества и мера Лебега живут именно на прямой — см. урок мера множества; про шкалу бесконечностей вообще — в термине бесконечность.