Равномерная сходимость: предел непрерывных функций и полоса ε

Ряд $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots$ в каждой точке числовой прямой собирается в $e^x$. Отсюда на лекциях уверенно пишут ${\left(\sum \frac{x^n}{n!}\right)}^{\prime }=\sum \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ — дифференцируют бесконечную сумму почленно. Для конечной суммы это право даёт таблица производных, для бесконечной — ничего: сумма пределов и предел суммы расходились уже не раз, достаточно вспомнить иглу из предельных теорем Лебега. Лицензию на почленные операции выдаёт равномерная сходимость — и в этом уроке мы разберём, что это за документ и где он обязателен.

Чем равномерная сходимость отличается от поточечной?#

Поточечная сходимость на множестве $E$: для каждой точки $x$ и каждого $\epsilon >0$ найдётся номер $N$, начиная с которого $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$. Внимание к деталям: $N$ выбирается для каждой точки своё — $N(x,\epsilon )$. Точки, где функции сходятся медленно, просто получают большие номера. Формально определение из урока о пределах последовательностей применяется точка за точкой, и больше ничего не требуется.

Равномерная сходимость требует одного номера на всех:

Геометрия проясняет мгновенно. Нарисуйте график предельной функции и две кривые $f(x)\pm \epsilon$ — получится полоса шириной $2\epsilon$. Поточечная сходимость означает: каждая точка графика $f_n$ когда-нибудь попадёт в полосу — но одна раньше, другая позже, и картинка в целом может годами держать «горб» где-то на краю. Равномерная — что весь график $f_n$ целиком влезает в полосу, начиная с номера $N$: никакого горба, никакой жизни за пределами полосы. Разница между «каждый попадёт» и «все попали одновременно» — ровно она решает, наследует ли предел хорошие свойства.

Почему xⁿ всё портит: разбор контрпримера на [0, 1]#

Возьмём $f_n(x)=x^n$ на отрезке $[0,1]$. Каждая $f_n$ непрерывна — это степенная функция. Поточечный предел существует и считается за секунду: для $0\le x<1$ степени $x^n\to 0$, в точке $x=1$ все члены равны единице. Итого предельная функция

Как так вышло? Посмотрите на картину перехода: зона, где $x^n$ заметно отличается от нуля, — это $x\in (4^{-1/n},1)$, ведь $4^{-1/n}=e^{-\ln 4/n}\to 1$. При $n=10$ она начинается у $0,87$, при $n=100$ — у $0,986$. «Обрыв» сжимается в точку $x=1$, оставаясь отвесным: высота стенки всегда единица, ширина стремится к нулю. Непрерывные функции умеют прятать разрыв в иголку — поточечная сходимость этого не замечает.

Теперь формально: почему сходимость не равномерная. Супремум отклонения ${\sup }_{x\in [0,1)}|x^n-0|=1$: значения $x^n$ сколь угодно близки к единице при $x\to 1^{-}$, хотя и не достигают её. Число 1 не стремится к нулю ни при каком $n$ — сходимость проваливает равномерный тест с любым $\epsilon <1$. Мораль: непрерывность может теряться на поточечном пределе, и это не патология, а норма поведения.

Что спасает равномерность: три теоремы о предельном переходе#

Теорема о непрерывности. Если все $f_n$ непрерывны на $[a,b]$ и $f_n\rightrightarrows f$ равномерно, то $f$ непрерывна. Идея доказательства — трюк $\epsilon /3$: отклонение $|f(x)-f(y)|$ разбивают на три слагаемых $|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(y)|+|f_n(y)-f(y)|$. Первое и третье убивает равномерность (общий номер!), среднее — непрерывность конкретной $f_n$. Неравномерная сходимость $x^n$ аккуратно проваливает первое звено: около $x=1$ никакого общего номера нет.

Почленное интегрирование. Если $f_n\rightrightarrows f$ на $[a,b]$, то интегралы тоже сходятся — и притом равномерно контролируемо:

Для рядов это звучит так: если члены $a_k(x)$ непрерывны и ряд $\sum a_k(x)$ сходится равномерно на $[a,b]$, то интеграл суммы равен сумме интегралов — переставлять знак суммы и интеграла законно. Почленное дифференцирование капризнее: из сходимости $f_n$ и даже равномерной сходимости производных мало чего следует по отдельности. Правильная формулировка: если $f_n$ дифференцируемы, в одной точке $x_0$ значения $f_n(x_0)$ сходятся, а производные $f_n^{\prime }$ сходятся равномерно к непрерывной $g$, то $f_n$ сходятся равномерно к дифференцируемой $f$, причём $f^{\prime }=g$. Производные требуют равномерности жёстче, чем сами функции.

Как проверить равномерную сходимость: критерий Коши и признак Вейерштрасса#

С проблемой «предел неизвестен, а равномерность проверить надо» справляется критерий Коши: $f_n$ сходится равномерно на $E$ тогда и только тогда, когда для любого $\epsilon >0$ найдётся $N$, что ${\sup }_{x\in E}|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$ для всех $n,m\ge N$. Предела в условии нет — только хвосты последовательности, и это роднит критерий с обычной сходимостью числовых последовательностей.

Разминка на критерий: геометрический ряд $\sum x^k$ на отрезке $[0,q]$, где $q<1$. Для $n>m$ хвост ${\sum }_{k=m+1}^n{x}^k=\frac{x^{m+1}-x^{n+1}}{1-x}\le \frac{q^{m+1}}{1-q}$ — оценка общая для всех точек отрезка и уходит в нуль при $m\to \infty$. Равномерная сходимость на $[0,q]$ доказана в три строки. Заметьте, как сузили множество: на $[0,1)$ тот же ряд сходится поточечно, но супремум хвоста $\frac{x^{m+1}}{1-x}$ бесконечен — критерий честно проваливается.

Для рядов чаще всего работает признак Вейерштрасса (числовая мажоранта). Пусть $|a_k(x)|\le M_k$ для всех $x\in E$ и числовой ряд $\sum M_k$ сходится. Тогда ряд $\sum a_k(x)$ сходится на $E$ абсолютно и равномерно. Логика прозрачная: остаток ряда оценивается хвостом числового ряда ${\sum }_{k>n}{M}_k$, а он один на все точки. Мажоранта здесь — сестра мажоранты из теоремы Лебега: общий потолок, только контролирует не интегралы, а хвосты рядов.

• $|\sin kx|,|\cos kx|\le 1$ — тригонометрический множитель выбрасывается, остаётся числовой ряд
• $|x^k|\le q^k$ на $[-q,q]$ — геометрическая мажоранта для степенных рядов
• $\frac{1}{k!}$ — факториальная мажоранта: экспоненциальный ряд мажорируется на всей прямой

Эталонный пример на весь курс — экспоненциальный ряд. Члены $a_k(x)=\frac{x^k}{k!}$ на всей прямой мажорируются числами $M_k=\frac{1}{k!}$: никакая точка не хуже нулевой. Числовой ряд ${\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}=e\approx 2,718$ сходится (без единого члена $k=0$ выходит $e-1\approx 1,718$). По признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно на $\mathbb{R}$ — и дальше запускается конвейер теорем:

Куда идёт всё это дальше? В степенные ряды. Ряд Тейлора $\sum \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$ сходится равномерно на любом отрезке $[x_0-r,x_0+r]$, целиком лежащем внутри интервала сходимости, — там его члены мажорируются геометрической прогрессией. Отсюда бесплатно: сумма степенного ряда непрерывна, интегрируется и дифференцируется почленно внутри радиуса сходимости, а радиус сам ищется по формуле Коши–Адамара. Именно поэтому разложения экспоненты, синуса и логарифма из формулы Тейлора можно смело интегрировать внутри интервала — равномерность уже куплена.

Чем это отличается от теоремы Лебега о мажорантах?#

Оба сюжета — про законную перестановку предела с интегралом, но языки разные. Равномерная сходимость контролирует геометрию: график целиком в полосе шириной $\epsilon$, во всех точках, без исключений. Теорема Лебега контролирует массу: сходимость почти всюду плюс интегрируемый потолок, а точки могут вести себя как угодно. Ни одно условие не тянет другое: $x^n$ сходится неравномерно, но перестановка интегралов на $[0,1]$ работает — ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\to 0=\int$ предела. А игла не равномерна и там перестановка ломается. Полезно и обратное: существуют равномерно сходящиеся на бесконечной прямой последовательности с расходящимися интегралами — равномерность не спасает несобственные интегралы без дополнительной работы.

Практическое правило выбора языка: если задача про графики, непрерывность или члены ряда с известной точкой сходимости — думайте в терминах супремума и полосы; если про интегралы по всей прямой или про вероятности — берите мажоранту. Частая ошибка на экзамене — обратная: провалить равномерную сходимость и заключить, что перестановка запрещена. Запрет касается только одного способа перестановки: у $x^n$ на $[0,1]$ равномерности нет, а интегралы меняются местами исправно, ведь ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\to 0$. Условия теорем достаточные, не необходимые — это стоит проговорить явно.

Ряды Фурье без равномерности: откуда берётся явление Гиббса?#

Разложим ступеньку — прямоугольную волну — в тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты убывают как $1/k$: медленно, мажоранту $\sum |a_k|$ не поймать. И не случайно: сумма ряда в точках непрерывности равна функции, в точке разрыва — полусумме односторонних пределов, значит предельная функция разрывна, и по теореме о непрерывности такой ряд равномерно сходиться не может в принципе. Зато вблизи разрыва частичные суммы показывают характерный выброс: пик превышает ступеньку примерно на 9% величины скачка, и с ростом числа гармоник пик не исчезает — он лишь прижимается к точке разрыва. Это явление Гиббса, прямое следствие отсутствия равномерной сходимости.

Забавно, что выброс интегрально безобиден: площади под пиком стремятся к нулю, сходимость по интегралу Лебега есть. Равномерности нет — выброс живёт; массы гаснут — средние в порядке. Никакая другая пара фактов курса не демонстрирует разницу двух языков так наглядно.

Финальный поворот оптики: равномерная сходимость — это обычная сходимость, если померить расстояние правильно. Скажем, что расстояние между $f$ и $g$ равно $\rho (f,g)=\sup |f-g|$ — и «$f_n\rightrightarrows f$» превратится в «$\rho (f_n,f)\to 0$», знакомую фразу из предела последовательностей. Непрерывные функции с такой метрикой образуют пространство, где работают критерии Коши и полнота — дверь в метрические пространства, следующий урок курса.