Метрические пространства: аксиомы, примеры и теорема полноты

Физик говорит: «два решения дифференциального уравнения близки». Вопрос на засыпку — где измерено это «близко»? Расстояние между точками на плоскости меряют линейкой, а между функциями? Между рядами? Между фотографиями? Математика заметила: во всех этих ситуациях работают одни и те же три правила игры, и всё, что доказано из них, доказано сразу для всех пространств разом — от таблицы умножения до банкоматов. Это и есть метрические пространства: геометрия, из которой выпустили всё лишнее, оставив только расстояние.

Что такое метрика: три аксиомы и ничего лишнего#

Метрикой на множестве $X$ называется функция $\rho :X\times X\to \mathbb{R}$, которая каждой паре точек сопоставляет число — расстояние — и удовлетворяет трём аксиомам:

Каждая аксиома — рабочий инструмент, а не декорация. Неотрицательность с уточнением $\rho (x,y)=0⟺x=y$ делает расстояние различающим: разные объекты обязаны жить на положительном удалении — потеряем пункт, и любые две функции, отличающиеся в одной точке, станут «одинаковыми». Симметрия отражает отсутствие односторонних дорог. Неравенство треугольника — самая содержательная аксиома: оно кодирует интуицию «объезд через промежуточную точку не короче прямого пути» и именно оно делает возможными все оценки через цепочки приближений.

Проверим аксиомы в действии на претенденте, который ими не владеет: $\rho (x,y)=(x-y{)}^2$ на числовой прямой. Неотрицательность и симметрия есть, но треугольник ломается: $\rho (0,2)=4$, а $\rho (0,1)+\rho (1,2)=2$ — «объезд» вдвое короче прямого пути. Функция неотрицательная, симметричная, красивая — но не метрика. Первое, что спрашивают в задачах курса: не нарушен ли треугольник.

Какие бывают метрики: от евклидовой до C[a,b]#

Одно и то же множество можно метризовать по-разному, и каждый выбор меняет геометрию. На ${\mathbb{R}}^n$ классика — евклидова метрика ${\rho }_2(x,y)=\sqrt{\sum (x_i-y_i{)}^2}$: прямой полёт птицы. Рядом живут манхэттенская ${\rho }_1(x,y)=\sum |x_i-y_i|$ — таксист в городе с сеткой улиц едет только вдоль кварталов — и sup-метрика ${\rho }_{\infty }(x,y)={\max }_i|x_i-y_i|$, расстояние по самой плохой координате. Все три удовлетворяют аксиомам, все три дают разные шары и разные «круги».

Настоящая магия начинается, когда точками пространства становятся функции. На множестве $C[a,b]$ непрерывных функций на отрезке берут

Максимум здесь существует — непрерывная функция $|f-g|$ на отрезке достигает наибольшего значения (теорема Вейерштрасса, знакомая по равномерной сходимости: там супремум отклонения и есть эта метрика). Почему именно максимум, а не интеграл ${\int }_a^b|f-g|dx$? Смотрите, что ломается: две функции, отличающиеся в единственной точке, имеют интеграл отклонения ноль — при равных значениях всюду кроме одной. Аксиома различения мертва: разные функции «на нулевом расстоянии». Максимум такой фокус не прощает: одно значение, где графики разошлись, — и расстояние уже положительно. Интеграл $\int |f-g|$ становится честной метрикой лишь после ритуала из интеграла Лебега — отождествления функций, совпадающих почти всюду; результат называют пространством $L^1(a,b)$, и это смежная метрика, а не та же самая.

Шары, открытые множества и замыкание: почему геометрия зависит от метрики?#

После метрики приходит геометрия. Открытый шар $B(a,r)=\{x:\rho (x,a)<r\}$ — все точки строго ближе радиуса; замкнутый шар берёт неравенство нестрогое. На плоскости с евклидовой метрикой шар — круг, с манхэттенской — ромб (таксист с лимитом на счетчике), с sup-метрикой — квадрат. Одно слово «шар» — три разных рисунка. Открытыми называют множества, собранные из шаров: каждая точка такого множества окружена маленьким шаром, целиком лежащим внутри. У открытых множеств своя алгебра — объединения любых семейств и конечные пересечения открыты, — и на ней строится топология.

Точку $a$ называют предельной точкой множества $A$, если любой шар вокруг $a$, даже микроскопический, содержит точки $A$, отличные от самой $a$. Отрезки $\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right)$ для $n=1,2,\dots$ примыкают к нулю — и ноль становится предельной точкой, не входя ни в один отрезок. Замыкание $\bar{A}$ — множество вместе со всеми предельными точками: замыкание интервала $(0,1)$ — отрезок $[0,1]$. Для последовательностей всё это читается через сходимость $\rho (x_n,x)\to 0$ — знакомый предел из числовых последовательностей, только вместо модуля любая метрика.

Почему полнота решает: критерий Коши в общем пространстве#

Последовательность называют фундаментальной (последовательностью Коши), если её члены со временем сближаются между собой: для любого $\epsilon$ найдётся $N$ с $\rho (x_n,x_m)<\epsilon$ при $n,m>N$. На прямой это не новость — критерий Коши из первого семестра. Новость в другом: фундаментальность можно сформулировать в любом метрическом пространстве, а вот сходимость — не всегда есть куда. Пространство полно, если каждая фундаментальная последовательность имеет предел в нём самом.

Контраст классический. $\mathbb{R}$ полно: фундаментальная последовательность обязана куда-то прийти. А $\mathbb{Q}$ — нет: последовательность $1,4;1,41;1,414;1,4142,\dots$ из рациональных приближений фундаментальна (разности соседей убывают как степени десятой), но её предел $\sqrt{2}$ рациональным числом не является. Рациональная прямая дырявая: в ней есть Коши-хвосты, ведущие в никуда. Иррациональные числа — это и есть заполнение дыр; без полноты не работает ни метод деления отрезка пополам, ни существование максимумов непрерывных функций.

С $C[a,b]$ ситуация двуликая. С sup-метрикой пространство полно: фундаментальность по $\max |f_n-f_m|$ — это в точности условие Коши из критерия равномерной сходимости, и равномерный предел непрерывных функций непрерывен, то есть остаётся в пространстве. Связь с критерием Коши равномерной сходимости прямая: это одно утверждение в двух системах координат. А вот с метрикой $\int |f-g|$ то же множество $C[a,b]$ полным не является**: непрерывными «рампами» можно фундаментально (по интегралу) подбираться к ступеньке, у которой предела в $C[a,b]$ нет — ступенька разрывна. Дыры заклеивает пополнение: оно даёт пространство $L^1(a,b)$ из предыдущего раздела.

Сжатые отображения и теорема Банаха: зачем полнота нужна прямо сейчас#

Отображение $T:X\to X$ называется сжатием, если оно равномерно уменьшает расстояния: $\rho (Tx,Ty)\le q\rho (x,y)$ с константой $q<1$ — любая пара точек после действия $T$ лежит ближе в $q$ раз. Теорема Банаха о неподвижной точке: на полном метрическом пространстве сжатие имеет ровно одну неподвижную точку $x^{\ast }=T(x^{\ast })$, и итерации $x_{n+1}=T(x_n)$ сходятся к ней из любой стартовой точки, причём есть готовая оценка скорости:

Тотальная демонстрация — метод Герона, извлечение корня делением. Для $a>0$ возьмём $T(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{a}{x}\right)$. Неподвижная точка решается в уме: $x=\frac{1}{2}(x+a/x)$ даёт $x=\sqrt{a}$. Неравенство о среднем арифметическом и геометрическом (AM–GM) показывает $T(x)\ge \sqrt{a}$ — отрезок $[\sqrt{a},\infty )$ переводится в себя, а производная $T^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{a}{x^2}\right)$ по модулю не превышает $\frac{1}{2}$ на нём. Итого: сжатие с $q=1/2$ на полном (как отрезок, так и луч) пространстве — Банах гарантирует сходимость к $\sqrt{a}$ из любой стартовой точки.

1. 1
   Первая итерация: $x_1=\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{1}\right)=1,5$; ошибка $|x_1-\sqrt{2}|\approx 0,0858$.
2. 2
   Вторая итерация: $x_2=\frac{1}{2}\left(1,5+\frac{2}{1,5}\right)=\frac{1}{2}(1,5+1,333333)=1,416667=\frac{17}{12}$; ошибка $\approx 0,00245$.
3. 3
   Третья итерация: $x_3=\frac{1}{2}\left(\frac{17}{12}+\frac{24}{17}\right)=\frac{577}{408}\approx 1,414216$; ошибка $\approx 0,0000021$.
4. 4
   Сравнение с теорией: банаховская оценка с $q=1/2$ обещает $\rho (x_3,x^{\ast })\le \frac{q^3}{1-q}\rho (x_1,x_0)=0,125$ — а реально $2\cdot 10^{-6}$.
5. 5
   Причина щедрости: вблизи корня ошибка ведёт себя как $e_{n+1}\approx \frac{e_n^2}{2\sqrt{2}}$ — число верных знаков удваивается за итерацию (квадратичная сходимость).

Числа честные: $x_3=577/408$ отличается от $\sqrt{2}\approx 1,41421356$ на две миллионные — три шага из единицы, и калькулятор больше ничего не добавляет. Обратите внимание на дроби: $17/12$ и $577/408$ — то самые рациональные приближения, которые в разделе о полноте вели последовательность Коши сквозь дыры $\mathbb{Q}$. Метод Герона — это машина, производящая фундаментальные последовательности, а теорема Банаха — гарантия, что в полном пространстве им есть куда прийти.

Компактность и зачем всё это нужно: от рядов Фурье до дифуров#

Остался третий кит после полноты — компактность: множество компактно, если из любой последовательности его точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (равносильно — из любого открытого покрытия выбрать конечное подпокрытие). На ${\mathbb{R}}^n$ работает теорема Гейне–Бореля: компакт = замкнуто + ограниченно. В бесконечномерных пространствах это ломается — в $C[0,1]$ единичный шар уже не компактен, и спасает теорема Арцела–Асколи: нужна ещё равностепенная непрерывность, общий запас колебаний у всех функций семейства. Компактность — то, что превращает «существует максимальное значение» в теорему, а не надежду.

Аппарат окупается мгновенно. Ряды Фурье живут в пространстве $L^2$ с метрикой $\sqrt{\int |f-g{|}^{2}dx}$ — ортогональные проекции дают наилучшие приближения, и вся теория сходимости Фурье переписывается на языке расстояний. Решения дифференциальных уравнений строятся как неподвижные точки: метод Пикара $x_{n+1}=x_0+\int f(x_n,t)dt$ — это сжатие на пространстве непрерывных функций с sup-метрикой, и теорема Банаха выдаёт существование и единственность решения задачи Коши одной строкой. Те же идеи работают в итерационных методах СЛАУ, в оптимизации, в машинном обучении — везде, где есть повторное приближение.

Курс ТФДП на этом собран: мера научилась взвешивать множества, интеграл Лебега — суммировать по ним, предельные теоремы — менять предел и интеграл, равномерная сходимость — сохранять непрерывность, а метрические пространства упаковали всё в одну аксиоматику. Следующий шаг — применить Банаха руками: возьмите уравнение $x=\cos x$ и посчитайте три итерации $x_{n+1}=\cos x_n$ с $x_0=1$ — неподвижная точка $\approx 0,739$ найдётся быстрее, чем за вас это сделает решатель.